微积分学示例

$x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.2.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2 {(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.7.4

组合 $\frac{2}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.11

化简表达式。

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解题步骤 1.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.11.2

将 $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.14

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.15

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.16

化简分子。

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解题步骤 1.16.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.16.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.17

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.18

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

解题步骤 1.19

组合 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.20

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.21

要将 $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.22

要将 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.23

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ 的形式。

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解题步骤 1.23.1

将 $\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.23.2

将 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.23.3

重新排序 $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}$ 的因式。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.24

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.25

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 1.25.1

移动 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.25.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.25.3

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{2 + 1}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.25.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x^{\frac{3}{3}} + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.25.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.26

化简 $2 x^{1}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.27

通过指数相加将 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 1.27.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.27.2

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.27.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x + {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.27.4

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f' (x) = \frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.28

化简 ${(x + 3)}^{1}$ 。

$f' (x) = \frac{2 x + x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.29

将 $2 x$ 和 $x$ 相加。

$f' (x) = \frac{3 x + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.30

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (x) + 3}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.31

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (x) + 3 \cdot 1}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.32

从 $3 (x) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.33

约去公因数。

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解题步骤 1.33.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 1.33.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{3 (x + 1)}{3 (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 1.33.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 且 $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} ({(x + 3)}^{\frac{1}{3}}) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 3$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.7

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简分子。

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解题步骤 2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.9

合并分数。

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解题步骤 2.9.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 3)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (x^{\frac{2}{3}} (\frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4

组合 $\frac{1}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3)) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.12

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.13

化简表达式。

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解题步骤 2.13.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.13.2

将 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.15

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.16

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.17

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.18

化简分子。

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解题步骤 2.18.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.18.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.19

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.20

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}))}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.21

组合 ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.22

化简表达式。

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解题步骤 2.22.1

将 $2$ 移到 ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \cdot ({(x + 3)}^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.22.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.23

要将 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.24

要将 $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.25

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ 的形式。

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解题步骤 2.25.1

将 $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.25.2

将 $\frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.25.3

重新排序 $3 {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ 的因式。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) (\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.26

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} + 2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.27

通过指数相加将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.27.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + 2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.27.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x^{\frac{2 + 1}{3}} + 2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.27.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x^{\frac{3}{3}} + 2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.27.4

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.28

化简 $x^{1}$ 。

解题步骤 2.29

通过指数相加将 ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.29.1

移动 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.29.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.29.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.29.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 {(x + 3)}^{\frac{3}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.29.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 (x + 3)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.30

化简 $2 {(x + 3)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 (x + 3)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31

化简。

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解题步骤 2.31.1

对 $x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} - (x + 1) \frac{x + 2 (x + 3)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 2 (x + 3)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 2 x + 2 \cdot 3}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4

化简分子。

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解题步骤 2.31.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.31.4.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 2 x + 6}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.1.2

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{3 x + 6}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.1.3

从 $3 x + 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 2.31.4.1.3.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{3 (x) + 6}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.1.3.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{3 x + 3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.1.3.3

从 $3 x + 3 \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{3 (x + 2)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1) (\frac{3 (x + 2)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.3

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1) (\frac{3 (x + 2)}{3 x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.4

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + (- x - 1) (\frac{x + 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.5

将 $- x - 1$ 乘以 $\frac{x + 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} + \frac{(- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.6

要将 $x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{(- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.7

组合 $x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{(- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9

以因式分解的形式重写 $\frac{x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}) + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

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解题步骤 2.31.4.9.1

通过指数相加将 $x^{\frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.31.4.9.1.1

移动 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.1.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{1 + 2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.1.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{\frac{3}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.1.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.2

化简 $x^{1} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x {(x + 3)}^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.3

通过指数相加将 ${(x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.31.4.9.3.1

移动 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3}}) + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{x {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.3.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{x {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.3.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{x {(x + 3)}^{\frac{3}{3}} + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.3.5

用 $3$ 除以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (x + 3) + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.4

化简 $x {(x + 3)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x (x + 3) + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.6

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 3 + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.7

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 \cdot x + (- x - 1) (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.8

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 1) (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.31.4.9.8.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x (x + 2) - 1 (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.8.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x \cdot x - x \cdot 2 - 1 (x + 2)}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.8.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x \cdot x - x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.31.4.9.9.1

化简每一项。

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解题步骤 2.31.4.9.9.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.31.4.9.9.1.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - (x \cdot x) - x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.9.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.9.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - 2 x - 1 x - 1 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.9.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - 2 x - x - 1 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - 2 x - x - 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.9.2

从 $- 2 x$ 中减去 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 3 x - x^{2} - 3 x - 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.10

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x + 0 - 3 x - 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.11

将 $3 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{3 x - 3 x - 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.12

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{0 - 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.9.13

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.4.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.5

合并项。

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解题步骤 2.31.5.1

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.31.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.5.1.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.31.5.1.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{3}} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.5.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}} {({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

解题步骤 2.31.5.2

将 ${({(x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.31.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

解题步骤 2.31.5.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.31.5.3

将 $\frac{- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.31.5.4

将 $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{1}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 2.31.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.31.5.6

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{1 + 4}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.31.5.7

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.31.5.8

通过指数相加将 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.31.5.8.1

移动 ${(x + 3)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} ({(x + 3)}^{\frac{2}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 2.31.5.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.31.5.8.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} {(x + 3)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

解题步骤 2.31.5.8.4

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{\frac{5}{3}} {(x + 3)}^{\frac{4}{3}}}$

微积分学 示例

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