微积分学示例

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

解题步骤 1.3

使用 $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{- \frac{3}{5}}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

解题步骤 2.2

合并分数。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{- \frac{3}{5}}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}]$

解题步骤 2.2.2

提高到零。

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解题步骤 2.2.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{5}}$ 移动到分母。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}]$

解题步骤 2.2.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{5}}$ 移动到分母。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}]$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}]$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 7

合并分数。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 8

因为 $\frac{1}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}])$

解题步骤 9

应用指数的基本规则。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}])$

解题步骤 9.2

将 ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5} \cdot - 1}])$

解题步骤 9.2.2

乘以 $\frac{3}{5} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 9.2.2.1

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $- 1$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}])$

解题步骤 9.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{5}}])$

解题步骤 9.2.3

将负号移到分数的前面。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{5}}])$

解题步骤 10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{5}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1}))$

解题步骤 11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

解题步骤 12

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

解题步骤 13

在公分母上合并分子。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}}))$

解题步骤 14

化简分子。

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解题步骤 14.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 5}{5}}))$

解题步骤 14.2

从 $- 3$ 中减去 $5$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 8}{5}}))$

解题步骤 15

将负号移到分数的前面。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{8}{5}}))$

解题步骤 16

组合 $x^{- \frac{8}{5}}$ 和 $\frac{3}{5}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5}))$

解题步骤 17

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5}$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5 \cdot 5})$

解题步骤 18

化简表达式。

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解题步骤 18.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{25})$

解题步骤 18.2

将 $3$ 移到 $x^{- \frac{8}{5}}$ 的左侧。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot x^{- \frac{8}{5}}}{25})$

解题步骤 18.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{8}{5}}$ 移动到分母。

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{25 x^{\frac{8}{5}}})$

微积分学 示例

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