微积分学示例

$\int \frac{1}{u \sqrt{3 - u^{2}}} d u$

解题步骤 1

使 $u = \sqrt{3} \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u = \sqrt{3} \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sqrt{3} \cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\sqrt{3} \sin (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

乘以 $1$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 ${\sqrt{3}}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 ${\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ 中分解出因数 ${\sqrt{3}}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.6.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.6.5

计算指数。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

将 $3$ 和 $\cos^{2} (t)$ 重新排序。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.1.8

从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) (\cos (t) \sqrt{3})} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.4.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.5.4.2

重写表达式。

$\int \frac{1}{3^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.5.5

计算指数。

$\int \frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

解题步骤 2.2.6

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)}$ 。

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2.7

组合 $\frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)}$ 和 $\cos (t)$ 。

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

解题步骤 2.2.8

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.8.1

约去公因数。

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

解题步骤 2.2.8.2

重写表达式。

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t)} d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 移到积分外。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \csc (t) d t$

解题步骤 5

$\csc (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

解题步骤 6

化简。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

解题步骤 7

使用 $\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) - \cot (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) |) + C$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) - \cot (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) |) + C$

微积分学 示例

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