微积分学示例

$\frac{x + y}{x - y} = x^{2} + y^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + y$ 且 $g (x) = x - y$ 。

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.4

根据加法法则， $x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

运用分配律。

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

化简分子。

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解题步骤 2.8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - y) (1 + y')$ 。

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解题步骤 2.8.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.1.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(- x - y) (1 - y')$ 。

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解题步骤 2.8.2.1.3.1

运用分配律。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.3.2

运用分配律。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.3.3

运用分配律。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 2.8.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.4.2

乘以 $- x (- y')$ 。

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解题步骤 2.8.2.1.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.4.2.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.4.4

乘以 $- y (- y')$ 。

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解题步骤 2.8.2.1.4.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.1.4.4.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.2

合并 $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ 中相反的项。

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解题步骤 2.8.2.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.2.2

将 $x y' - y - y y'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.2.3

将 $- y y'$ 和 $y y'$ 相加。

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.2.4

将 $x y' - y + x y' - y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.3

将 $x y'$ 和 $x y'$ 相加。

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2.4

从 $- y$ 中减去 $y$ 。

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.3

从 $2 x y' - 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.8.3.1

从 $2 x y'$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.3.2

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 2.8.3.3

从 $2 (x y') + 2 (- y)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + 2 y y'$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$2 y y' + 2 x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} = 2 y y' + 2 x$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

两边同时乘以 ${(x - y)}^{2}$ 。

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

约去 ${(x - y)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

重写表达式。

$2 (x y' - y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用分配律。

$2 (x y') + 2 (- y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3

化简表达式。

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解题步骤 5.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 x y' - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.1.3.2

移动 $x$ 。

$2 y' x - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $(2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

运用分配律。

$2 y' x - 2 y = 2 y y' {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2

移动 $y$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

将 ${(x - y)}^{2}$ 重写为 $(x - y) (x - y)$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y ((x - y) (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - y) (x - y)$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

运用分配律。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x (x - y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.2.2

运用分配律。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.2.3

运用分配律。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.3.1.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.4.1

移动 $y$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.3.1.4.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.3.1.6

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.3.2

从 $- x y$ 中减去 $y x$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.2.1

移动 $y$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.3.2.2

从 $- x y$ 中减去 $x y$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.4

运用分配律。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y (- 2 x y) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.5

化简。

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解题步骤 5.3.1.5.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.3.1.5.1.1

移动 $y$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' (y \cdot y) (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.5.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.5.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.5.2.1

移动 $y^{2}$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.5.2.2

将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.3.1.5.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y^{1}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{2 + 1} + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.5.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

解题步骤 5.3.1.7

将 ${(x - y)}^{2}$ 重写为 $(x - y) (x - y)$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x ((x - y) (x - y))$

解题步骤 5.3.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(x - y) (x - y)$ 。

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解题步骤 5.3.1.8.1

运用分配律。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x (x - y) - y (x - y))$

解题步骤 5.3.1.8.2

运用分配律。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y (x - y))$

解题步骤 5.3.1.8.3

运用分配律。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y))$

解题步骤 5.3.1.9

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.9.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.9.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y))$

解题步骤 5.3.1.9.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - y (- y))$

解题步骤 5.3.1.9.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y)$

解题步骤 5.3.1.9.1.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.3.1.9.1.4.1

移动 $y$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y))$

解题步骤 5.3.1.9.1.4.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2})$

解题步骤 5.3.1.9.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2})$

解题步骤 5.3.1.9.1.6

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

解题步骤 5.3.1.9.2

从 $- x y$ 中减去 $y x$ 。

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解题步骤 5.3.1.9.2.1

移动 $y$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2})$

解题步骤 5.3.1.9.2.2

从 $- x y$ 中减去 $x y$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

解题步骤 5.3.1.10

运用分配律。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.1.11

化简。

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解题步骤 5.3.1.11.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.11.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.1.11.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.11.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.1.11.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.1.11.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.1.11.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.11.2.1

移动 $x$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x) (- 2 y) + 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.1.11.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x^{2} (- 2 y) + 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.1.12

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 2 x^{2} y + 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.1.12.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.2

因为 $y'$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} = 2 y' x - 2 y$

解题步骤 5.3.3

从等式两边同时减去 $2 y' x$ 。

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

解题步骤 5.3.4

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.4.1

从等式两边同时减去 $2 x^{3}$ 。

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3}$

解题步骤 5.3.4.2

在等式两边都加上 $4 x^{2} y$ 。

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y$

解题步骤 5.3.4.3

从等式两边同时减去 $2 x y^{2}$ 。

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.5

从 $2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 5.3.5.1

从 $2 y' y x^{2}$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y x^{2}) - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.5.2

从 $- 4 y' y^{2} x$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.5.3

从 $2 y' y^{3}$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.5.4

从 $- 2 y' x$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.5.5

从 $2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x)$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.5.6

从 $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3}$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.5.7

从 $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x)$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.6

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

解题步骤 5.3.7

将 $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ 中的每一项除以 $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.7.1

将 $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ 中的每一项都除以 $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ 。

$\frac{2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.7.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.7.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.2.2

约去 $y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.7.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.7.3.1.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.3.1.1.1

从 $- 2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.7.3.1.1.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.7.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.3.1.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.3.1.3.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x^{3})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.7.3.1.3.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.7.3.1.3.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.3.1.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.3.1.5.1

从 $4 x^{2} y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (2 x^{2} y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.3.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.7.3.1.5.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.7.3.1.5.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.3.1.6

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.3.1.6.1

从 $- 2 x y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x y^{2})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

解题步骤 5.3.7.3.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.7.3.1.6.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.3.7.3.1.6.2.2

重写表达式。

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.1.7

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2

化简项。

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解题步骤 5.3.7.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- y - x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2.3

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2.4

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y) - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2.5

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y) - (x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2.6

从 $- (y) - (x^{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y + x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2.7

从 $2 x^{2} y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2.8

从 $- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2.9

从 $- x y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2.10

从 $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2.11

化简表达式。

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解题步骤 5.3.7.3.2.11.1

将 $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ 重写为 $- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ 。

$y' = \frac{- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 5.3.7.3.2.11.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

微积分学 示例

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