微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{6 k (k - 1)}{n^{3}}$

解题步骤 1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(6) (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

化简项。

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解题步骤 3.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

约去公因数。

$6 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 3.1.1.2

重写表达式。

$n (n + 1) (2 n + 1)$

解题步骤 3.1.2

运用分配律。

$(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1)$

解题步骤 3.1.3

化简表达式。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1)$

解题步骤 3.1.3.2

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$(n^{2} + n) (2 n + 1)$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1)$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1)$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $n^{2}$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $n$ 。

$2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $n$ 乘以 $n^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.2.1

对 $n$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.3

将 $n^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.5

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 3.3.1.5.1

移动 $n$ 。

$2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.5.2

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1$

解题步骤 3.3.1.6

将 $n$ 乘以 $1$ 。

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n$

解题步骤 3.3.2

将 $n^{2}$ 和 $2 n^{2}$ 相加。

$2 n^{3} + 3 n^{2} + n$

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