微积分学示例

$6 x^{3} \sqrt{x} \csc (x)$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} x^{\frac{1}{2}} \csc (x)]$

解题步骤 2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [6 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) \csc (x)]$

解题步骤 2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3} \csc (x)]$

解题步骤 2.3

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} \csc (x)]$

解题步骤 2.4

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 6}{2}} \csc (x)]$

解题步骤 2.6.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

解题步骤 3

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ 且 $g (x) = \csc (x)$ 。

$6 (x^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

解题步骤 5

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{7}{2}$ 。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}))$

解题步骤 10.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}))$

解题步骤 11

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2})$

解题步骤 12

组合 $\csc (x)$ 和 $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ 。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2})$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

解题步骤 13.2

合并项。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 (x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

解题步骤 13.2.2

组合 $6$ 和 $\frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$ 。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{6 (\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

解题步骤 13.2.3

将 $7$ 乘以 $6$ 。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{42 (\csc (x) (x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

解题步骤 13.2.4

从 $42 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2}$

解题步骤 13.2.5

约去公因数。

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解题步骤 13.2.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

解题步骤 13.2.5.2

约去公因数。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 13.2.5.3

重写表达式。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}}{1}$

解题步骤 13.2.5.4

用 $21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ 除以 $1$ 。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + 21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 13.3

重新排序项。

$- 6 x^{\frac{7}{2}} \cot (x) \csc (x) + 21 x^{\frac{5}{2}} \csc (x)$

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