微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} (x) d x$

解题步骤 1

因式分解出 $\cos^{2} (x)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

解题步骤 2

使用勾股定理，将 $\cos^{2} (x)$ 重写成 $1 - \sin^{2} (x)$ 的形式。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

解题步骤 3

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 3.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = \sin (x)$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 3.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$u]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u^{2} d u$

解题步骤 7

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$u]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$u]_{0}^{1} - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $u$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(1) + 0 - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{u^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$1 + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.3.2

一的任意次幂都为一。

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

解题步骤 9.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

解题步骤 9.3.4

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

解题步骤 9.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.3.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 9.3.4.2.2

约去公因数。

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

解题步骤 9.3.4.2.3

重写表达式。

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

解题步骤 9.3.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 - (\frac{1}{3} - 0)$

解题步骤 9.3.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$1 - (\frac{1}{3} + 0)$

解题步骤 9.3.6

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$1 - \frac{1}{3}$

解题步骤 9.3.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 9.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{3 - 1}{3}$

解题步骤 9.3.9

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3}$

小数形式：

$0.\overline{6}$

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