微积分学示例

$y = \ln (3 x^{2} + 3 x + 6)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x^{2} + 3 x + 6$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x^{2} + 3 x + 6$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

解题步骤 1.1.3

使用 $3 x^{2} + 3 x + 6$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 3 x + 6]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $3 x^{2} + 3 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 1.2.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 1.2.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 + \frac{d}{d x} [6])$

解题步骤 1.2.8

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3 + 0)$

解题步骤 1.2.9

将 $6 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

重新排序 $\frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6} (6 x + 3)$ 的因式。

$(6 x + 3) \frac{1}{3 x^{2} + 3 x + 6}$

解题步骤 1.3.2

从 $3 x^{2} + 3 x + 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 x + 6}$

解题步骤 1.3.2.2

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 6}$

解题步骤 1.3.2.3

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 2}$

解题步骤 1.3.2.4

从 $3 (x^{2}) + 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2} + x) + 3 \cdot 2}$

解题步骤 1.3.2.5

从 $3 (x^{2} + x) + 3 \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$(6 x + 3) \frac{1}{3 (x^{2} + x + 2)}$

解题步骤 1.3.3

将 $6 x + 3$ 乘以 $\frac{1}{3 (x^{2} + x + 2)}$ 。

$\frac{6 x + 3}{3 (x^{2} + x + 2)}$

解题步骤 1.3.4

约去 $6 x + 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x) + 3}{3 (x^{2} + x + 2)}$

解题步骤 1.3.4.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x) + 3 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 2)}$

解题步骤 1.3.4.3

从 $3 (2 x) + 3 (1)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 2)}$

解题步骤 1.3.4.4

约去公因数。

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解题步骤 1.3.4.4.1

约去公因数。

$\frac{3 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 2)}$

解题步骤 1.3.4.4.2

重写表达式。

$f' (x) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 2}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + 1$ 且 $g (x) = x^{2} + x + 2$ 。

$\frac{(x^{2} + x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x^{2} + x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + x + 2) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + x + 2) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + x + 2$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 2]}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.7

根据加法法则， $x^{2} + x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.11

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - (2 x + 1) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $2 x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - ({(2 x + 1)}^{1} (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4

对 $2 x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - ({(2 x + 1)}^{1} {(2 x + 1)}^{1})}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - {(2 x + 1)}^{1 + 1}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + x + 2) - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 2 - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2

化简分子。

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解题步骤 2.7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - {(2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.2

将 ${(2 x + 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x + 1) (2 x + 1)$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - ((2 x + 1) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 1) (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 2.7.2.1.3.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.3.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.7.2.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.2.1.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.2.1.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.4.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.4.1.5

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.4.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.4.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2} + 4 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.5

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - (4 x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.6

化简。

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解题步骤 2.7.2.1.6.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x - 1 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.1.6.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x^{2} - 4 x - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x + 4 - 4 x - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.3

从 $2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 4 - 1}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.2.4

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 2 x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.3

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{2}) - 2 x + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{2}) - (2 x) + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.5

从 $- (2 x^{2}) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x) + 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.6

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.7

从 $- (2 x^{2} + 2 x) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 x^{2} + 2 x - 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.8

将 $- (2 x^{2} + 2 x - 3)$ 重写为 $- 1 (2 x^{2} + 2 x - 3)$ 。

$\frac{- 1 (2 x^{2} + 2 x - 3)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7.9

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{2} + 2 x - 3}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}}$

微积分学 示例

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