微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{(x - 2) (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (3 x^{2} + 3)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2} + 3) - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2} + 3)}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.2.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.2.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + x \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 \cdot x - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.2.4

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 2 \cdot 3}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 6}{{(6 x + 4)}^{3}}$

解题步骤 2

分子分母同时除以分母中 $x$ 的最高次幂。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3}} + \frac{3 x}{x^{3}} + \frac{- 6 x^{2}}{x^{3}} + \frac{- 6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 3

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

化简每一项。

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{{(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{3}{x^{2}} - \frac{6}{x} - \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 3.5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 5

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{6}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 7

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} {(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 9

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

使用极限幂法则把 ${(\frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 9.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(lim_{x \to \infty} \frac{6 x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 9.3

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 9.4

约去 $x$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.4.1

约去公因数。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 9.4.2

重写表达式。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 9.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x})}^{3}}$

解题步骤 9.6

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}^{3}}$

解题步骤 10

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{3 + 3 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 11

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3 + 0 - 6 \cdot 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 11.1.2

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3 + 0 + 0 - 6 \cdot 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 11.1.3

将 $- 6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3 + 0 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 11.1.4

将 $3 + 0 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 + 0 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 11.1.5

将 $3 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 + 0}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 11.1.6

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{{(6 \cdot 1 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 11.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{{(6 + 4 \cdot 0)}^{3}}$

解题步骤 11.2.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{3}{{(6 + 0)}^{3}}$

解题步骤 11.2.3

将 $6$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{6^{3}}$

解题步骤 11.2.4

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{3}{216}$

解题步骤 11.3

约去 $3$ 和 $216$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (1)}{216}$

解题步骤 11.3.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.3.2.1

从 $216$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

解题步骤 11.3.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 72}$

解题步骤 11.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{72}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{72}$

小数形式：

$0.013\overline{8}$

微积分学 示例

微积分学示例