微积分学示例

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = - \frac{1}{x}$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ ，以便 $x^{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = - \frac{1}{x}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $- \frac{1}{x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

解题步骤 2.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3

求微分。

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解题步骤 2.1.3.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.3

乘。

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解题步骤 2.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.3.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

解题步骤 2.1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 2.1.3.5.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$x^{- 2} + 0$

解题步骤 2.1.3.5.2

将 $x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{- 2}$

解题步骤 2.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = - \frac{1}{x}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

约去公因数。

$u_{lower} = - \frac{1}{1}$

解题步骤 2.3.1.2

重写表达式。

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = - \frac{1}{x}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{t}$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- \frac{1}{t}} e^{u} d u$

解题步骤 3

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$lim_{t \to \infty} e^{u}]_{- 1}^{- \frac{1}{t}}$

解题步骤 4

计算 $e^{u}$ 在 $- \frac{1}{t}$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - e^{- 1}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

计算极限值。

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解题步骤 5.1.1

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{t \to \infty} e^{- \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

解题步骤 5.1.2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{t \to \infty} - \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

解题步骤 5.1.3

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

解题步骤 5.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{t}$ 趋于 $0$ 。

$e^{- 0} - lim_{t \to \infty} e^{- 1}$

解题步骤 5.3

计算极限值。

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解题步骤 5.3.1

计算 $e^{- 1}$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{- 0} - e^{- 1}$

解题步骤 5.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{0} - e^{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1 - e^{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - \frac{1}{e}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$1 - \frac{1}{e}$

小数形式：

$0.63212055 \dots$

微积分学 示例

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