微积分学示例

$f (x) = x^{2} + e^{x} - \cos (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + e^{x} - \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 x + e^{x} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$2 x + e^{x} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 x + e^{x} - - \sin (x)$

解题步骤 1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x + e^{x} + 1 \sin (x)$

解题步骤 1.3.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 x + e^{x} + \sin (x)$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x + e^{x} + \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 + e^{x} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = 2 + e^{x} + \cos (x)$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2 + e^{x} + \cos (x)$ 。

$2 + e^{x} + \cos (x)$

微积分学 示例

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