微积分学示例

$y = {(1 + \frac{1}{x})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = 1 + \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + \frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $1 + \frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [1 + \frac{1}{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $1 + \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 相加。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

解题步骤 2.5

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} x^{- 2}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

合并项。

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解题步骤 3.2.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{- 3}{x^{2}} {(1 + \frac{1}{x})}^{2}$

解题步骤 3.2.2

组合 $\frac{- 3}{x^{2}}$ 和 ${(1 + \frac{1}{x})}^{2}$ 。

$\frac{- 3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 {(1 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{3 {(\frac{x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{3 {(\frac{x + 1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.3

对 $\frac{x + 1}{x}$ 运用乘积法则。

$- \frac{3 \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 3.4

组合 $3$ 和 $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ 。

$- \frac{\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

解题步骤 3.5

将分子乘以分母的倒数。

$- (\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.6

合并。

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

解题步骤 3.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

解题步骤 3.8

将 $3 {(x + 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 {(x + 1)}^{2}}{x^{4}}$

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