微积分学示例

$y = a e^{v} + \frac{b}{v} + c v^{2}$

解题步骤 1

根据加法法则， $a e^{v} + \frac{b}{v} + c v^{2}$ 对 $v$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [a e^{v}] + \frac{d}{d v} [\frac{b}{v}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$ 。

$\frac{d}{d v} [a e^{v}] + \frac{d}{d v} [\frac{b}{v}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d v} [a e^{v}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $a$ 对于 $v$ 是常数，所以 $a e^{v}$ 对 $v$ 的导数是 $a \frac{d}{d v} [e^{v}]$ 。

$a \frac{d}{d v} [e^{v}] + \frac{d}{d v} [\frac{b}{v}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [a^{v}]$ 等于 $a^{v} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$a e^{v} + \frac{d}{d v} [\frac{b}{v}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d v} [\frac{b}{v}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $b$ 对于 $v$ 是常数，所以 $\frac{b}{v}$ 对 $v$ 的导数是 $b \frac{d}{d v} [\frac{1}{v}]$ 。

$a e^{v} + b \frac{d}{d v} [\frac{1}{v}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{v}$ 重写为 $v^{- 1}$ 。

$a e^{v} + b \frac{d}{d v} [v^{- 1}] + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$a e^{v} + b (- v^{- 2}) + \frac{d}{d v} [c v^{2}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d v} [c v^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $c$ 对于 $v$ 是常数，所以 $c v^{2}$ 对 $v$ 的导数是 $c \frac{d}{d v} [v^{2}]$ 。

$a e^{v} + b (- v^{- 2}) + c \frac{d}{d v} [v^{2}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ 等于 $n v^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$a e^{v} + b (- v^{- 2}) + c (2 v)$

解题步骤 4.3

将 $2$ 移到 $c$ 的左侧。

$a e^{v} + b (- v^{- 2}) + 2 c v$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$a e^{v} + b (- \frac{1}{v^{2}}) + 2 c v$

解题步骤 5.2

组合 $b$ 和 $\frac{1}{v^{2}}$ 。

$a e^{v} - \frac{b}{v^{2}} + 2 c v$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$e^{v} a + 2 c v - \frac{b}{v^{2}}$

解题步骤 5.4

将 $e^{v} a + 2 c v - \frac{b}{v^{2}}$ 中的因式重新排序。

$a e^{v} + 2 c v - \frac{b}{v^{2}}$

微积分学 示例

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