微积分学示例

$y = (x^{4} + 3) (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4} + 3$ 且 $g (x) = - 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5$ 。

$(x^{4} + 3) \frac{d}{d x} [- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5] + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$(x^{4} + 3) (\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

解题步骤 2.2

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$(x^{4} + 3) (- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$(x^{4} + 3) (- 4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

解题步骤 2.4

将 $5$ 乘以 $- 4$ 。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

解题步骤 2.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

解题步骤 2.7

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

解题步骤 2.8

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3} + 0) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

解题步骤 2.9

将 $- 20 x^{4} + 20 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) \frac{d}{d x} [x^{4} + 3]$

解题步骤 2.10

根据加法法则， $x^{4} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 2.12

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) (4 x^{3} + 0)$

解题步骤 2.13

化简表达式。

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解题步骤 2.13.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) (4 x^{3})$

解题步骤 2.13.2

将 $4$ 移到 $- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5$ 的左侧。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + 4 \cdot (- 4 x^{5} + 5 x^{4} + 5) x^{3}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + (4 (- 4 x^{5}) + 4 (5 x^{4}) + 4 \cdot 5) x^{3}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4} + 20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$(x^{4} + 3) (- 20 x^{4}) + (x^{4} + 3) (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$x^{4} (- 20 x^{4}) + 3 (- 20 x^{4}) + (x^{4} + 3) (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.5

运用分配律。

$x^{4} (- 20 x^{4}) + 3 (- 20 x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6

合并项。

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解题步骤 3.6.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$x^{4} x^{4} \cdot - 20 + 3 (- 20 x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4 + 4} \cdot - 20 + 3 (- 20 x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$x^{8} \cdot - 20 + 3 (- 20 x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.2

将 $- 20$ 移到 $x^{8}$ 的左侧。

$- 20 \cdot x^{8} + 3 (- 20 x^{4}) + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.3

将 $- 20$ 乘以 $3$ 。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + x^{4} (20 x^{3}) + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.4

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.6.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + x^{3} x^{4} \cdot 20 + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + x^{3 + 4} \cdot 20 + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.4.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + x^{7} \cdot 20 + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.5

将 $20$ 移到 $x^{7}$ 的左侧。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 \cdot x^{7} + 3 (20 x^{3}) + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.6

将 $20$ 乘以 $3$ 。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} + 4 (- 4 x^{5}) x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.7

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{5} x^{3} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.8

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.6.8.1

移动 $x^{3}$ 。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 (x^{3} x^{5}) + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.8.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{3 + 5} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.8.3

将 $3$ 和 $5$ 相加。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 4 (5 x^{4}) x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.9

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 20 x^{4} x^{3} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.10

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.6.10.1

移动 $x^{3}$ 。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 20 (x^{3} x^{4}) + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.10.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 20 x^{3 + 4} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.10.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 20 x^{7} + 4 \cdot 5 x^{3}$

解题步骤 3.6.11

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$- 20 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} - 16 x^{8} + 20 x^{7} + 20 x^{3}$

解题步骤 3.6.12

从 $- 20 x^{8}$ 中减去 $16 x^{8}$ 。

$- 36 x^{8} - 60 x^{4} + 20 x^{7} + 60 x^{3} + 20 x^{7} + 20 x^{3}$

解题步骤 3.6.13

将 $20 x^{7}$ 和 $20 x^{7}$ 相加。

$- 36 x^{8} - 60 x^{4} + 40 x^{7} + 60 x^{3} + 20 x^{3}$

解题步骤 3.6.14

将 $60 x^{3}$ 和 $20 x^{3}$ 相加。

$- 36 x^{8} - 60 x^{4} + 40 x^{7} + 80 x^{3}$

解题步骤 3.7

重新排序项。

$- 36 x^{8} + 40 x^{7} - 60 x^{4} + 80 x^{3}$

微积分学 示例

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