微积分学示例

$\int_{1}^{4} (\frac{x^{2}}{2} - x + 3) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{4} \frac{x^{2}}{2} - x + 3 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} \frac{x^{2}}{2} d x + \int_{1}^{4} - x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} - x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} 3 d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 d x$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 x]_{1}^{4}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 4^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + 3 x]_{1}^{4}$

解题步骤 9.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 3 x]_{1}^{4}$

解题步骤 9.3

计算 $3 x$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 4^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4

化简。

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解题步骤 9.4.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 64 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $64$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.6

从 $64$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.7

约去 $63$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.7.1

从 $63$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.7.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.7.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.7.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.7.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{1} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.7.2.4

用 $21$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 21 - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $21$ 。

$\frac{21}{2} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.9

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{21}{2} - (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.10

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.10.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{21}{2} - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{21}{2} - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.10.2.2

约去公因数。

$\frac{21}{2} - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.10.2.3

重写表达式。

$\frac{21}{2} - (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.10.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$\frac{21}{2} - (8 - \frac{1^{2}}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.11

一的任意次幂都为一。

$\frac{21}{2} - (8 - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.12

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{21}{2} - (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.13

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{21}{2} - (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.14

在公分母上合并分子。

$\frac{21}{2} - \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.15

化简分子。

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解题步骤 9.4.15.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{21}{2} - \frac{16 - 1}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.15.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$\frac{21}{2} - \frac{15}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.16

在公分母上合并分子。

$\frac{21 - 15}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.17

从 $21$ 中减去 $15$ 。

$\frac{6}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.18

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.18.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.18.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.18.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.18.2.3

重写表达式。

$\frac{3}{1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.18.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.19

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$3 + 12 - 3 \cdot 1$

解题步骤 9.4.20

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$3 + 12 - 3$

解题步骤 9.4.21

从 $12$ 中减去 $3$ 。

$3 + 9$

解题步骤 9.4.22

将 $3$ 和 $9$ 相加。

$12$

解题步骤 10

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