微积分学示例

$\int \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$\int \frac{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\sqrt{\cos^{2} (t)}}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

组合 $\frac{\cos (t)}{\sin^{2} (t)}$ 和 $\cos (t)$ 。

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 2.2.2

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 2.2.3

对 $\cos (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 2.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

解题步骤 2.2.6

将 $\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ 转换成 $\cot^{2} (t)$ 。

$\int \cot^{2} (t) d t$

解题步骤 3

使用勾股定理，将 $\cot^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \csc^{2} (t)$ 的形式。

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

解题步骤 6

因为 $- \cot (t)$ 的导数为 $\csc^{2} (t)$ ，所以 $\csc^{2} (t)$ 的积分为 $- \cot (t)$ 。

$- t + C - \cot (t) + C$

解题步骤 7

化简。

$- t - \cot (t) + C$

解题步骤 8

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \arcsin (x) - \cot (\arcsin (x)) + C$

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