微积分学示例

$y = \sqrt{e^{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{e^{x}}$ 重写成 $e^{\frac{x}{2}}$ 。

$y = e^{\frac{x}{2}}$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{\frac{x}{2}})$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 4.2

求微分。

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解题步骤 4.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{\frac{x}{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \cdot 1$

解题步骤 4.2.4

将 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

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