微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

解题步骤 1

要将 $\frac{1}{n}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{n + 1}{n + 1}$ 。

$\frac{1}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{1}{n + 1}$

解题步骤 2

要将 $- \frac{1}{n + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{n}{n}$ 。

$\frac{1}{n} \cdot \frac{n + 1}{n + 1} - \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $n (n + 1)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{n}$ 乘以 $\frac{n + 1}{n + 1}$ 。

$\frac{n + 1}{n (n + 1)} - \frac{1}{n + 1} \cdot \frac{n}{n}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{n + 1}$ 乘以 $\frac{n}{n}$ 。

$\frac{n + 1}{n (n + 1)} - \frac{n}{(n + 1) n}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(n + 1) n$ 的因式。

$\frac{n + 1}{n (n + 1)} - \frac{n}{n (n + 1)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{n + 1 - n}{n (n + 1)}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

从 $n$ 中减去 $n$ 。

$\frac{0 + 1}{n (n + 1)}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{n (n + 1)}$

解题步骤 6

重写该总和。

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n (n + 1)}$

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