微积分学示例

$\ln (| \cos (\frac{π}{x}) |)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = | \cos (\frac{π}{x}) |$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $| \cos (\frac{π}{x}) |$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

解题步骤 1.3

使用 $| \cos (\frac{π}{x}) |$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [| \cos (\frac{π}{x}) |]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = \cos (\frac{π}{x})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\cos (\frac{π}{x})$ 。

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

解题步骤 2.2

$| u_{2} |$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ 。

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (\frac{π}{x})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |} (\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})])$

解题步骤 3

将 $\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ 乘以 $\frac{1}{| \cos (\frac{π}{x}) |}$ 。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) | | \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

解题步骤 4

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

解题步骤 5

对 $\cos (\frac{π}{x})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

解题步骤 6

对 $\cos (\frac{π}{x})$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{1} (\frac{π}{x}) \cos^{1} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| {\cos (\frac{π}{x})}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π}{x})]$

解题步骤 9

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \frac{π}{x}$ 。

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解题步骤 9.1

要使用链式法则，请将 $u_{3}$ 设为 $\frac{π}{x}$ 。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

解题步骤 9.2

$\cos (u_{3})$ 对 $u_{3}$ 的导数为 $- \sin (u_{3})$ 。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

解题步骤 9.3

使用 $\frac{π}{x}$ 替换所有出现的 $u_{3}$ 。

$\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- \sin (\frac{π}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}])$

解题步骤 10

求微分。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{\cos (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ 和 $\sin (\frac{π}{x})$ 。

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{π}{x}]$

解题步骤 10.2

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$- \frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (π \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 10.3

合并分数。

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解题步骤 10.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ 。

$- \frac{π (\cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}))}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 10.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 10.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} (- x^{- 2})$

解题步骤 10.5

合并分数。

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解题步骤 10.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

解题步骤 10.5.2

将 $\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |} x^{- 2}$

解题步骤 10.5.3

组合 $\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x}) x^{- 2}}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

解题步骤 10.5.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{| \cos^{2} (\frac{π}{x}) | x^{2}}$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

重新排序项。

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} | \cos^{2} (\frac{π}{x}) |}$

解题步骤 11.2

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

解题步骤 11.3

约去 $\cos (\frac{π}{x})$ 和 $\cos^{2} (\frac{π}{x})$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1

从 $π \cos (\frac{π}{x}) \sin (\frac{π}{x})$ 中分解出因数 $\cos (\frac{π}{x})$ 。

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})}$

解题步骤 11.3.2

约去公因数。

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解题步骤 11.3.2.1

从 $x^{2} \cos^{2} (\frac{π}{x})$ 中分解出因数 $\cos (\frac{π}{x})$ 。

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

解题步骤 11.3.2.2

约去公因数。

$\frac{\cos (\frac{π}{x}) (π \sin (\frac{π}{x}))}{\cos (\frac{π}{x}) (x^{2} \cos (\frac{π}{x}))}$

解题步骤 11.3.2.3

重写表达式。

$\frac{π \sin (\frac{π}{x})}{x^{2} \cos (\frac{π}{x})}$

解题步骤 11.4

分离分数。

$\frac{π}{x^{2}} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$

解题步骤 11.5

将 $\frac{\sin (\frac{π}{x})}{\cos (\frac{π}{x})}$ 转换成 $\tan (\frac{π}{x})$ 。

$\frac{π}{x^{2}} \tan (\frac{π}{x})$

解题步骤 11.6

组合 $\frac{π}{x^{2}}$ 和 $\tan (\frac{π}{x})$ 。

$\frac{π \tan (\frac{π}{x})}{x^{2}}$

微积分学 示例

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