微积分学示例

$\int_{2}^{4} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

解题步骤 1

使 $x = 2 \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $2 \sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $2 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $4 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $4 \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(2 \tan (t))}^{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2

约去 $2 \sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $2 \sec (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $2 \sec (t)$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan (t) \tan (t) d t$

解题步骤 3

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 4

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 2 \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 7

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (t) d t$

解题步骤 8

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (t)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (t)$ 的形式。

$2 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$2 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (t) d t)$

解题步骤 11

因为 $\tan (t)$ 的导数为 $\sec^{2} (t)$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 的积分为 $\tan (t)$ 。

$2 (- t]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 12

组合 $- t]_{0}^{\frac{π}{3}}$ 和 $\tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ 。

$2 (- t + \tan (t)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $- t + \tan (t)$ 在 $\frac{π}{3}$ 处和在 $0$ 处的值。

$2 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

解题步骤 13.2

化简。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

解题步骤 13.2.2

将 $0$ 和 $\tan (0)$ 相加。

$2 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

$\tan (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\sqrt{3}$ 。

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

解题步骤 14.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

解题步骤 14.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

解题步骤 14.4

将 $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

运用分配律。

$2 (- \frac{π}{3}) + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 15.2

乘以 $2 (- \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 15.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 15.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 15.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3}$

小数形式：

$1.36970651 \dots$

解题步骤 17

微积分学 示例

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