微积分学示例

$lim_{x \to 4} \sqrt{\frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

解题步骤 1

将极限移入根号内。

$\sqrt{lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 3 x + 4}{2 x^{2} - x - 1}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - 3 x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 3 x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

解题步骤 5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

解题步骤 6

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - x - 1}}$

解题步骤 7

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{lim_{x \to 4} 2 x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

解题步骤 8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

解题步骤 9

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1}}$

解题步骤 10

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 11

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 11.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 lim_{x \to 4} x + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 11.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 11.3

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 11.4

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\sqrt{\frac{4^{2} - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{16 - 3 \cdot 4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{16 - 12 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.3

从 $16$ 中减去 $12$ 。

$\sqrt{\frac{4 + 4}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.4

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{\frac{8}{2 \cdot 4^{2} - 4 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.5

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{8}{2 \cdot 16 - 4 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.6

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$\sqrt{\frac{8}{32 - 4 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 12.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{8}{32 - 4 - 1}}$

解题步骤 12.8

从 $32$ 中减去 $4$ 。

$\sqrt{\frac{8}{28 - 1}}$

解题步骤 12.9

从 $28$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{\frac{8}{27}}$

解题步骤 12.10

将 $\sqrt{\frac{8}{27}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$ 。

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{27}}$

解题步骤 12.11

化简分子。

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解题步骤 12.11.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 12.11.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{27}}$

解题步骤 12.11.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{27}}$

解题步骤 12.11.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{27}}$

解题步骤 12.12

化简分母。

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解题步骤 12.12.1

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 12.12.1.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{9 (3)}}$

解题步骤 12.12.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

解题步骤 12.12.2

从根式下提出各项。

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$

解题步骤 12.13

将 $\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 12.14

合并和化简分母。

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解题步骤 12.14.1

将 $\frac{2 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 12.14.2

移动 $\sqrt{3}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

解题步骤 12.14.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

解题步骤 12.14.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

解题步骤 12.14.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 12.14.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 12.14.7

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 12.14.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 12.14.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 12.14.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.14.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.14.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.14.7.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

解题步骤 12.14.7.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 12.15

化简分子。

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解题步骤 12.15.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{2 \sqrt{3 \cdot 2}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 12.15.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 12.16

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 \sqrt{6}}{9}$

小数形式：

$0.54433105 \dots$

微积分学 示例

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