微积分学示例

$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

解题步骤 4

使 $x = \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec^{2} (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 5.2

约去 $\sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $\sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

解题步骤 5.2.3

重写表达式。

$\int \sec (t) d t$

解题步骤 6

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

解题步骤 7

使用 $\arctan (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$

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