微积分学示例

$\frac{d}{d x} {(1 + \frac{7}{x})}^{x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 ${(1 + \frac{7}{x})}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x \ln (1 + \frac{7}{x})$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x \ln (1 + \frac{7}{x})$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

解题步骤 2.3

使用 $x \ln (1 + \frac{7}{x})$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \frac{d}{d x} [x \ln (1 + \frac{7}{x})]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (1 + \frac{7}{x})$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x \frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{7}{x})] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 1 + \frac{7}{x}$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $1 + \frac{7}{x}$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用 $1 + \frac{7}{x}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (x (\frac{1}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{1 + \frac{7}{x}}$ 和 $x$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{7}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.2

根据加法法则， $1 + \frac{7}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ 相加。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.5

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{x}{1 + \frac{7}{x}} (7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.6

合并分数。

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解题步骤 5.6.1

组合 $7$ 和 $\frac{x}{1 + \frac{7}{x}}$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.6.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}} (- x^{- 2}) + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.8

组合 $\frac{7 x}{1 + \frac{7}{x}}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x \cdot x^{- 2}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 (x^{- 2} x)}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 (x^{- 2} x^{1})}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x^{- 2 + 1}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6.3

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7 x^{- 1}}{1 + \frac{7}{x}} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 1}$ 移动到分母。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 1)$

解题步骤 9

将 $\ln (1 + \frac{7}{x})$ 乘以 $1$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}))$

解题步骤 10

要将 $\ln (1 + \frac{7}{x})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot \frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x})$

解题步骤 11

组合 $\ln (1 + \frac{7}{x})$ 和 $\frac{(1 + \frac{7}{x}) x}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ 。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- \frac{7}{(1 + \frac{7}{x}) x} + \frac{\ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x})$

解题步骤 12

在公分母上合并分子。

$e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \frac{- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

解题步骤 13

组合 $e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}$ 和 $\frac{- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x)}{(1 + \frac{7}{x}) x}$ 。

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) ((1 + \frac{7}{x}) x))}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (1 x + \frac{7}{x} x))}{(1 + \frac{7}{x}) x}$

解题步骤 14.2

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (1 x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

解题步骤 14.3

化简分子。

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解题步骤 14.3.1

化简每一项。

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解题步骤 14.3.1.1

化简每一项。

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解题步骤 14.3.1.1.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

解题步骤 14.3.1.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + \frac{7}{x} x))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

解题步骤 14.3.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) (x + 7))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

解题步骤 14.3.1.2

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + \ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 7)}{1 x + \frac{7}{x} x}$

解题步骤 14.3.1.3

乘以 $\ln (1 + \frac{7}{x}) \cdot 7$ 。

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解题步骤 14.3.1.3.1

将 $\ln (1 + \frac{7}{x})$ 和 $7$ 重新排序。

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + 7 \cdot \ln (1 + \frac{7}{x}))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

解题步骤 14.3.1.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $7 \cdot \ln (1 + \frac{7}{x})$ 。

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (- 7 + \ln (1 + \frac{7}{x}) x + \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7}))}{1 x + \frac{7}{x} x}$

解题步骤 14.3.2

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \cdot - 7 + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

解题步骤 14.3.3

将 $- 7$ 移到 $e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}$ 的左侧。

$\frac{- 7 \cdot e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

解题步骤 14.3.4

将 $- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} (\ln (1 + \frac{7}{x}) x) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})$ 中的因式重新排序。

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{1 x + \frac{7}{x} x}$

解题步骤 14.4

合并项。

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解题步骤 14.4.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7}{x} x}$

解题步骤 14.4.2

组合 $\frac{7}{x}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7 x}{x}}$

解题步骤 14.4.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.3.1

约去公因数。

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + \frac{7 x}{x}}$

解题步骤 14.4.3.2

用 $7$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} + x e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7})}{x + 7}$

解题步骤 14.5

重新排序项。

$\frac{e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} x \ln (1 + \frac{7}{x}) + e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})} \ln ({(1 + \frac{7}{x})}^{7}) - 7 e^{x \ln (1 + \frac{7}{x})}}{x + 7}$

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