微积分学示例

$\frac{\sqrt{3 x - 2}}{x}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x - 2}$ 重写成 ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}] - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 3 x - 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x - 2$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

使用 $3 x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{x (\frac{1}{2} {(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x (\frac{{(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(3 x - 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x (\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 2] - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 9

根据加法法则， $3 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 10

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 12

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 13

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 14

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 14.2

组合 $\frac{x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $3$ 。

$\frac{\frac{x \cdot 3}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 14.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{3 \cdot x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 15

将 $\frac{\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ 乘以 $\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 16

合并。

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} - {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 17

运用分配律。

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 18

约去 $2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 18.1

约去公因数。

$\frac{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{3 x}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 18.2

重写表达式。

$\frac{3 x + 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} (- {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 19

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 20

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 21

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 21.1

在公分母上合并分子。

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 21.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 22

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 22.1

约去公因数。

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{\frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 22.2

重写表达式。

$\frac{3 x - 2 {(3 x - 2)}^{1} \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 23

化简。

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2) \frac{d}{d x} [x]}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 24

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2) \cdot 1}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 25

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x - 2 (3 x - 2)}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 26

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.1

运用分配律。

$\frac{3 x - 2 (3 x) - 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 26.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 26.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{3 x - 6 x - 2 \cdot - 2}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 26.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{3 x - 6 x + 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 26.2.2

从 $3 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{- 3 x + 4}{2 {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

解题步骤 26.3

重新排序项。

$\frac{- 3 x + 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.4

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 x) + 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.5

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$\frac{- (3 x) - 1 (- 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.6

从 $- (3 x) - 1 (- 4)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 x - 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.7

将 $- (3 x - 4)$ 重写为 $- 1 (3 x - 4)$ 。

$\frac{- 1 (3 x - 4)}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 x - 4}{2 x^{2} {(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

微积分学示例