微积分学示例

$\int \cos^{2} (x) d x$

解题步骤 1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\int \cos (x) \cos (x) d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (x)$ ， $d v = \cos (x)$ 。

$\cos (x) \sin (x) - \int \sin (x) (- \sin (x)) d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin (x) (\sin (x)) d x$

解题步骤 4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{1} (x) \sin (x) d x$

解题步骤 5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) d x$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) \sin (x) - - \int {\sin (x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (x) \sin (x) - - \int \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (x) \sin (x) + 1 \int \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 9

将 $\int \sin^{2} (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$\cos (x) \sin (x) + \int \sin^{2} (x) d x$

解题步骤 10

乘以 $1$ 。

$\cos (x) \sin (x) + \int \sin^{2} (x) \cdot 1 d x$

解题步骤 11

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin^{2} (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x - \int x \sin (2 x) d x$

解题步骤 12

求解 $\int \cos^{2} (x) d x$ ，我们发现 $\int \cos^{2} (x) d x$ = $\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2}$ 。

$\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2} + C$

解题步骤 13

将 $\frac{\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x}{2} + C$ 重写为 $\frac{1}{2} (\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x) + C$ 。

$\frac{1}{2} (\cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) x) + C$

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