微积分学示例

$\frac{x^{2} e^{x}}{x^{2} + e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} e^{x}$ 且 $g (x) = x^{2} + e^{x}$ 。

$\frac{(x^{2} + e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + e^{x}]}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $x^{2} + e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ 。

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x + e^{x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + e^{x}) (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x)$ 。

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解题步骤 6.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x}) + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x} + 2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} (x^{2} e^{x}) + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.3.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} x^{2} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2 + 2} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{4} e^{x} + x^{2} (2 e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{2} (e^{x} x) + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 (x \cdot x^{2}) e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 (x^{1} x^{2}) e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{1 + 2} e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x} (x^{2} e^{x}) + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.4

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.4.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x} e^{x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{x + x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.4.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + e^{x} (2 e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{x} (e^{x} x) - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.6

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.6.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 (e^{x} e^{x}) x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{x + x} x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.6.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{2} e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - (x \cdot x^{2}) e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - (x^{1} x^{2}) e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{1 + 2} e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{3} e^{x} \cdot 2 - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{x} e^{x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.6

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 6.2.1.6.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} (e^{x} e^{x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{x + x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.6.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.2

合并 $x^{4} e^{x} + 2 x^{3} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - 2 x^{3} e^{x} - x^{2} e^{2 x}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $2 x^{3} e^{x}$ 中减去 $2 x^{3} e^{x}$ 。

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x + 0 - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - x^{2} e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.3

按照 $e^{2 x} x^{2}$ 和 $- x^{2} e^{2 x}$ 重新排列因数。

$\frac{x^{4} e^{x} + e^{2 x} x^{2} + 2 e^{2 x} x - e^{2 x} x^{2}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.4

从 $e^{2 x} x^{2}$ 中减去 $e^{2 x} x^{2}$ 。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x + 0}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.2.5

将 $x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.2.3

将 $x^{4} e^{x} + 2 e^{2 x} x$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{4} e^{x} + 2 x e^{2 x}}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{e^{x} x^{4} + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4

从 $e^{x} x^{4} + 2 e^{2 x} x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

从 $e^{x} x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (e^{x} x^{3}) + 2 e^{2 x} x}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.2

从 $2 e^{2 x} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (e^{x} x^{3}) + x (2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.4.3

从 $x (e^{x} x^{3}) + x (2 e^{2 x})$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (e^{x} x^{3} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

解题步骤 6.5

将 $\frac{x (e^{x} x^{3} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x (x^{3} e^{x} + 2 e^{2 x})}{{(x^{2} + e^{x})}^{2}}$

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