微积分学示例

$\frac{x^{2} - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 1$ 且 $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 移到 ${(x + 1)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - (x^{2} - 1) (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 4.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) (1 + 0))}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 4.5

化简表达式。

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解题步骤 4.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) ((x + 1) \cdot 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 4.5.2

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2} x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2

化简分子。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$\frac{2 ((x + 1) (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{2 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + x + x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.4

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 (2 x) + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.5

化简。

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解题步骤 5.2.1.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2 \cdot 1) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2 x^{2} + 4 x + 2) x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.6

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.7

化简。

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解题步骤 5.2.1.7.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.7.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.7.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.7.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 4 x \cdot x + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.7.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.7.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 4 (x \cdot x) + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.7.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.8

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + (- 2 x^{2} + 2) (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x^{2} + 2) (x + 1)$ 。

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解题步骤 5.2.1.9.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} (x + 1) + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.9.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.9.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.10

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.10.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.10.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.10.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.10.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.10.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.10.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.1.10.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2

合并 $2 x^{3} + 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{2} + 2 x + 0 - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $4 x^{2} + 2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.3

从 $4 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.2.4

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.1

从 $2 x^{2} + 4 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2}) + 4 x + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.2

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.4

从 $2 (x^{2}) + 2 (2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.3.1.5

从 $2 (x^{2} + 2 x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1)}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.3.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.3.2.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 5.3.2.3

重写多项式。

$\frac{2 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.3.2.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{2 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.4

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 和 ${(x + 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $2 {(x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{4}}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.2.1

从 ${(x + 1)}^{4}$ 中分解出因数 ${(x + 1)}^{2}$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2

约去公因数。

$\frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 2}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

解题步骤 5.4.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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