微积分学示例

$\int_{0}^{5} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \frac{3}{2} \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ 为正数。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{9 + 4 {(\frac{3}{2} \tan (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 {(\frac{3 \tan (t)}{2})}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1.2.1

对 $\frac{3 \tan (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{{(3 \tan (t))}^{2}}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.2.2

对 $3 \tan (t)$ 运用乘积法则。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{3^{2} \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{2^{2}}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.5.1

约去公因数。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 4 \frac{9 \tan^{2} (t)}{4}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.1.5.2

重写表达式。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.2

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 \tan^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.3

从 $9 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.4

从 $9 (1) + 9 (\tan^{2} (t))$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (1 + \tan^{2} (t))}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.5

重新整理项。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 (\tan^{2} (t) + 1)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.6

使用勾股恒等式。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{9 \sec^{2} (t)}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.7

将 $9 \sec^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \sec (t))}^{2}$ 。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2}}} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{1}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{3 \sec (t)}$ 乘以 $\frac{3 \sec^{2} (t)}{2}$ 。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 \sec (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{6 \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.3

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $3 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{6 \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1

从 $6 \sec (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 (\sec^{2} (t))}{3 (2 \sec (t))} d t$

解题步骤 2.2.3.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{3 \sec^{2} (t)}{3 (2 \sec (t))} d t$

解题步骤 2.2.3.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec^{2} (t)}{2 \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.4

约去 $\sec^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

从 $\sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{2 \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1

从 $2 \sec (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去公因数。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

解题步骤 2.2.4.2.3

重写表达式。

$\int_{0}^{1.27933953} \frac{\sec (t)}{2} d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1.27933953} \sec (t) d t$

解题步骤 4

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{0}^{1.27933953}$

解题步骤 5

计算 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 在 $1.27933953$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

$\sec (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + \tan (0) |))$

解题步骤 6.2

$\tan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 + 0 |))$

解题步骤 6.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} (\ln (| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 6.4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$

解题步骤 6.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| \sec (1.27933953) + \tan (1.27933953) |}{| 1 |})}{2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

$\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ 约为 $6.8134355$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{| 1 |})}{2}$

解题步骤 7.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{\ln (\frac{\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)}{1})}{2}$

解题步骤 7.3

用 $\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953)$ 除以 $1$ 。

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\ln (\sec (1.27933953) + \tan (1.27933953))}{2}$

小数形式：

$0.95944823 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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