微积分学示例

$\int_{1}^{\infty} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{e^{- x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2.3

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.4

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 2.4.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} e^{- x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3

使 $u = - x^{\frac{1}{2}}$ 。然后使 $d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ ，以便 $1 d u = - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = - x^{\frac{1}{2}}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $- x^{\frac{1}{2}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.1.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 3.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 3.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.1.6

在公分母上合并分子。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.1.7

化简分子。

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解题步骤 3.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 3.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 3.1.8

将负号移到分数的前面。

$- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 3.1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 3.1.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = - x^{\frac{1}{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

解题步骤 3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = - 1$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = - x^{\frac{1}{2}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 3.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 2 e^{u} d u$

解题步骤 4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{u} d u$

解题步骤 5

由于 $- 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} - 2 \int_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}} e^{u} d u$

解题步骤 6

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{u}]_{- 1}^{- t^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 7

计算 $e^{u}$ 在 $- t^{\frac{1}{2}}$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} - 2 (e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1})$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

计算极限值。

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解题步骤 8.1.1

因为项 $- 2$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - e^{- 1}$

解题步骤 8.1.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 (lim_{t \to \infty} e^{- t^{\frac{1}{2}}} - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

解题步骤 8.2

因为指数 $- t^{\frac{1}{2}}$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- t^{\frac{1}{2}}}$ 趋于 $0$ 。

$- 2 (0 - lim_{t \to \infty} e^{- 1})$

解题步骤 8.3

计算极限值。

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解题步骤 8.3.1

计算 $e^{- 1}$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 2 (0 - e^{- 1})$

解题步骤 8.3.2

化简答案。

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解题步骤 8.3.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 (0 - \frac{1}{e})$

解题步骤 8.3.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{e}$ 。

$- 2 (- \frac{1}{e})$

解题步骤 8.3.2.3

乘以 $- 2 (- \frac{1}{e})$ 。

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解题步骤 8.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$2 \frac{1}{e}$

解题步骤 8.3.2.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{2}{e}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{e}$

小数形式：

$0.73575888 \dots$

微积分学 示例

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