微积分学示例

$y'''' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

解题步骤 1

求 $y'$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

解题步骤 1.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 1.3

对方程右边求微分。

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解题步骤 1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x$ 。

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 1.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 1.3.3

求微分。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.3.3.2

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

解题步骤 1.3.3.4

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$- 6 e^{- 2 x}$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

解题步骤 2

求 $y''$ 。

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解题步骤 2.1

建立导数。

$y'' = \frac{d}{d x} [- 6 e^{- 2 x}]$

解题步骤 2.2

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

$y'' = - 6 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x$ 。

$y'' = - 6 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y'' = - 6 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 2.3.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y'' = - 6 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 2.4

去掉圆括号。

$y'' = - 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 2.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y'' = - 6 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.6

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$y'' = 12 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y'' = 12 e^{- 2 x} \cdot 1$

解题步骤 2.8

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$y'' = 12 e^{- 2 x}$

解题步骤 3

求 $y'''$ 。

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解题步骤 3.1

建立导数。

$y''' = \frac{d}{d x} [12 e^{- 2 x}]$

解题步骤 3.2

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

$y''' = 12 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x$ 。

$y''' = 12 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y''' = 12 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 3.3.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y''' = 12 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 3.4

去掉圆括号。

$y''' = 12 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y''' = 12 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.6

将 $- 2$ 乘以 $12$ 。

$y''' = - 24 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y''' = - 24 e^{- 2 x} \cdot 1$

解题步骤 3.8

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$y''' = - 24 e^{- 2 x}$

解题步骤 4

求 $y''''$ 。

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解题步骤 4.1

建立导数。

$y'''' = \frac{d}{d x} [- 24 e^{- 2 x}]$

解题步骤 4.2

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

$y'''' = - 24 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x$ 。

$y'''' = - 24 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 4.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$y'''' = - 24 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 4.3.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y'''' = - 24 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

解题步骤 4.4

去掉圆括号。

$y'''' = - 24 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y'''' = - 24 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.6

将 $- 2$ 乘以 $- 24$ 。

$y'''' = 48 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y'''' = 48 e^{- 2 x} \cdot 1$

解题步骤 4.8

将 $48$ 乘以 $1$ 。

$y'''' = 48 e^{- 2 x}$

解题步骤 5

代入给定的微分方程。

$48 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$48 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

解题步骤 6.2

将 $48 e^{- 2 x}$ 和 $6 e^{- 2 x}$ 相加。

$54 e^{- 2 x} = 0$

解题步骤 7

给定的解不满足给定微分方程。

$y = 3 e^{- 2 x}$ 不是 $y'''' + 2 y = 0$ 的解

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