微积分学示例

$\int \frac{1}{x \ln (x) \ln (\ln (x))} d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = \ln (x)$ 。然后使 $d u_{1} = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{1} \ln (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 2

使 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ ，以便 $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = \ln (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $\ln (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

解题步骤 2.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}}$

解题步骤 2.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

解题步骤 3

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$\ln (| u_{2} |) + C$

解题步骤 4

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 4.1

使用 $\ln (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\ln (| \ln (u_{1}) |) + C$

解题步骤 4.2

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\ln (| \ln (\ln (x)) |) + C$

微积分学 示例