微积分学示例

$\int_{- \infty}^{0} e^{2 x} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $- \infty$ 时的极限。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{2 x} d x$

解题步骤 2

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 t$

解题步骤 2.3

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 0$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = 0$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2 t$

$u_{upper} = 0$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \int_{2 t}^{0} \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} \int_{2 t}^{0} e^{u} d u$

解题步骤 5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{1}{2} e^{u}]_{2 t}^{0}$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{u}]_{2 t}^{0}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{e^{u}]_{2 t}^{0}}{2}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $e^{u}$ 在 $0$ 处和在 $2 t$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} \frac{(e^{0}) - e^{2 t}}{2}$

解题步骤 7.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{2 t}}{2}$

解题步骤 8

计算极限值。

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解题步骤 8.1

计算极限值。

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解题步骤 8.1.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{2 t}$

解题步骤 8.1.2

当 $t$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

解题步骤 8.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{2 t})$

解题步骤 8.2

因为指数 $2 t$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{2 t}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{1}{2} (1 - 0)$

解题步骤 8.3

化简答案。

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解题步骤 8.3.1

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 8.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

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