微积分学示例

$\int (- \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int - \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{4}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$- (4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x)$

解题步骤 4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 x^{2}}} d x$

解题步骤 5

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

化简 $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 6.1.1

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1.4.1

约去公因数。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{\frac{2}{2}} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.1.4.2

重写表达式。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3^{1} - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.1.5

计算指数。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.2

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1) - 3 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.3

从 $- 3 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.4

从 $3 (1) + 3 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.5

使用勾股恒等式。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.6

将 $3$ 和 $\cos^{2} (t)$ 重新排序。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.1.7

从根式下提出各项。

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.2

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $\cos (t) \sqrt{3}$ 中分解出因数 $\cos (t)$ 。

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) (\sqrt{3})} \cos (t) d t$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$- 4 \int \frac{1}{\cos (t) \sqrt{3}} \cos (t) d t$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{3}} d t$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$- 4 (\frac{1}{\sqrt{3}} t + C)$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

将 $- 4 (\frac{1}{\sqrt{3}} t + C)$ 重写为 $- 4 (\frac{\sqrt{3}}{3} t) + C$ 。

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{3} t) + C$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 和 $t$ 。

$- 4 \frac{\sqrt{3} t}{3} + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{\sqrt{3} t}{3}$ 。

$\frac{- 4 (\sqrt{3} t)}{3} + C$

解题步骤 8.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 \sqrt{3} t}{3} + C$

解题步骤 8.3

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3} \arcsin (x)}{3} + C$

解题步骤 8.4

重新排序项。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \arcsin (x) + C$

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