微积分学示例

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{{(1 - x)}^{2}} d x$

解题步骤 4

使 $u = 1 - x$ 。然后使 $d u = - d x$ ，以便 $- d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 1 - x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

重写。

$\frac{- 1}{1}$

解题步骤 4.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- 1$

$- 1$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

$\int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 7

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 7.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \int u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \int u^{- 2} d u$

$- \int u^{- 2} d u$

$- \int u^{- 2} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- (- u^{- 1} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $- (- u^{- 1} + C)$ 重写为 $- - \frac{1}{u} + C$ 。

$- - \frac{1}{u} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{1}{u} + C$

解题步骤 9.2.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{u} + C$

$\frac{1}{u} + C$

$\frac{1}{u} + C$

解题步骤 10

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 - x} + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{1 - x} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$