微积分学示例

$\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 36}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 6 \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 6 \sec^{2} (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $6 \sec^{2} (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{(6 \tan (t))}^{2} + 36}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $6 \tan (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{6^{2} \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \tan^{2} (t) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $36 \tan^{2} (t) + 36$ 中分解出因数 $36$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $36 \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $36$ 。

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.2.2

从 $36$ 中分解出因数 $36$ 。

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.2.3

从 $36 (\tan^{2} (t)) + 36 (1)$ 中分解出因数 $36$ 。

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 (\tan^{2} (t) + 1)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{36 \sec^{2} (t)}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

将 $36 \sec^{2} (t)$ 重写为 ${(6 \sec (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{6 \tan (t) \sqrt{{(6 \sec (t))}^{2}}} (6 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{6 \tan (t) (6 \sec (t))} (6 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\int \frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)} (6 \sec^{2} (t)) d t$

解题步骤 2.2.2

组合 $6$ 和 $\frac{1}{36 \tan (t) \sec (t)}$ 。

$\int \frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{6}{36 \tan (t) \sec (t)}$ 和 $\sec^{2} (t)$ 。

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.4

约去 $6$ 和 $36$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

从 $6 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{36 \tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1

从 $36 \tan (t) \sec (t)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\int \frac{6 (\sec^{2} (t))}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去公因数。

$\int \frac{6 \sec^{2} (t)}{6 (6 \tan (t) \sec (t))} d t$

解题步骤 2.2.4.2.3

重写表达式。

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.5

约去 $\sec^{2} (t)$ 和 $\sec (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.1

从 $\sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{6 \tan (t) \sec (t)} d t$

解题步骤 2.2.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.1

从 $6 \tan (t) \sec (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.5.2.2

约去公因数。

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) (6 \tan (t))} d t$

解题步骤 2.2.5.2.3

重写表达式。

$\int \frac{\sec (t)}{6 \tan (t)} d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{6}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{6}$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\tan (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{6} \int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

解题步骤 4.2

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{6} \int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

解题步骤 4.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ 。

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

解题步骤 4.4

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

解题步骤 4.5

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$\frac{1}{6} \int \csc (t) d t$

解题步骤 5

$\csc (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 。

$\frac{1}{6} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

解题步骤 6

化简。

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

解题步骤 7

使用 $\arctan (\frac{x}{6})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{x}{6})) - \cot (\arctan (\frac{x}{6})) |) + C$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{1}{6} \ln (| \csc (\arctan (\frac{1}{6} x)) - \cot (\arctan (\frac{1}{6} x)) |) + C$

微积分学 示例

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