微积分学示例

$h (x) = (x^{2} - 2) (x^{3} - 3 x)$ , $(- 2, - 4)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 2$ 和 $y = - 4$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 2$ 且 $g (x) = x^{3} - 3 x$ 。

$(x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x] + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$(x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3 \cdot 1) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

解题步骤 1.2.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

解题步骤 1.2.6

根据加法法则， $x^{2} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.2.8

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (2 x + 0)$

解题步骤 1.2.9

化简表达式。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (x^{3} - 3 x) (2 x)$

解题步骤 1.2.9.2

将 $2$ 移到 $x^{3} - 3 x$ 的左侧。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + 2 \cdot (x^{3} - 3 x) x$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + (2 x^{3} + 2 (- 3 x)) x$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2} - 3) + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$(x^{2} - 2) (3 x^{2}) + (x^{2} - 2) \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.4

运用分配律。

$x^{2} (3 x^{2}) - 2 (3 x^{2}) + (x^{2} - 2) \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.5

运用分配律。

$x^{2} (3 x^{2}) - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6

合并项。

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解题步骤 1.3.6.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.6.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{2} x^{2} \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 2} \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} \cdot 3 - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6.2

将 $3$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$3 \cdot x^{4} - 2 (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6.3

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$3 x^{4} - 6 x^{2} + x^{2} \cdot - 3 - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6.4

将 $- 3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$3 x^{4} - 6 x^{2} - 3 \cdot x^{2} - 2 \cdot - 3 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6.5

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{4} - 6 x^{2} - 3 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6.6

从 $- 6 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{3} x + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 (x^{1} x^{3}) + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{1 + 3} + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6.9

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} + 2 (- 3 x) x$

解题步骤 1.3.6.10

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 (x^{1} x)$

解题步骤 1.3.6.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 (x^{1} x^{1})$

解题步骤 1.3.6.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 x^{1 + 1}$

解题步骤 1.3.6.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 x^{4} - 9 x^{2} + 6 + 2 x^{4} - 6 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.15

将 $3 x^{4}$ 和 $2 x^{4}$ 相加。

$5 x^{4} - 9 x^{2} + 6 - 6 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.16

从 $- 9 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 6$

解题步骤 1.4

计算在 $x = - 2$ 处的导数。

$5 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$5 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

解题步骤 1.5.1.2

将 $5$ 乘以 $16$ 。

$80 - 15 {(- 2)}^{2} + 6$

解题步骤 1.5.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$80 - 15 \cdot 4 + 6$

解题步骤 1.5.1.4

将 $- 15$ 乘以 $4$ 。

$80 - 60 + 6$

解题步骤 1.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $80$ 中减去 $60$ 。

$20 + 6$

解题步骤 1.5.2.2

将 $20$ 和 $6$ 相加。

$26$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $26$ 和给定点 $(- 2, - 4)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- 4) = 26 \cdot (x - (- 2))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $26 \cdot (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + 4 = 0 + 0 + 26 \cdot (x + 2)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + 4 = 26 \cdot (x + 2)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + 4 = 26 x + 26 \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.4

将 $26$ 乘以 $2$ 。

$y + 4 = 26 x + 52$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$y = 26 x + 52 - 4$

解题步骤 2.3.2.2

从 $52$ 中减去 $4$ 。

$y = 26 x + 48$

解题步骤 3

微积分学 示例

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