微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{x^{2}}{2 x - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{x^{2}}{2 x + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(2 x - 1) (2 x + 1)$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{x^{2}}{2 x - 1}$ 乘以 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{x^{2}}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{x^{2}}{2 x + 1}$ 乘以 $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)} - \frac{x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(2 x - 1) (2 x + 1)$ 的因式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} - \frac{x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x - 1)}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $x^{2}$ 和 $2$ 重新排序。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $x^{2}$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.3.3

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot - 1}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.3.4

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 \cdot x^{2} x + 1 \cdot x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 (x^{2} x^{1}) + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2 + 1} + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + 1 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.8

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2} x - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.9

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{2 + 1} - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.11

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1.2.11.1

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.11.2

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} + 1 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.11.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} + x^{2} - 2 x^{3} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.11.2.3

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{3} - 2 x^{3} + x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.11.3

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{lim_{x \to \infty} 0 + x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.11.4

将 $0$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.11.5

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 x^{2}}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.2.12

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (2 x + 1) (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

运用分配律。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.3.2

运用分配律。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}$

解题步骤 2.1.3.3

运用分配律。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.4

化简表达式。

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解题步骤 2.1.3.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.4.2

移动 $x$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.4.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x \cdot x + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.1.3.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.8.2

乘。

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解题步骤 2.1.3.8.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.8.2.2

化简。

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解题步骤 2.1.3.8.2.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.3.8.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 2 x + 2 x - 1}$

解题步骤 2.1.3.8.3

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} + 0 - 1}$

解题步骤 2.1.3.8.4

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4 x^{2} - 1}$

解题步骤 2.1.3.9

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.3.10

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $x^{2} (2 x + 1) - x^{2} (2 x - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} (2 + 0) + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.8

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} \cdot 2 + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.9

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \cdot x^{2} + (2 x + 1) (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.3.10

将 $2$ 移到 $2 x + 1$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x + \frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2} (2 x - 1)]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2} (2 x - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x - 1)]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.3

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 \cdot 1 + 0) + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} (2 + 0) + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.9

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (x^{2} \cdot 2 + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.10

将 $2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (2 \cdot x^{2} + (2 x - 1) (2 x))}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.4.11

将 $2$ 移到 $2 x - 1$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x + 1) x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5

化简。

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解题步骤 2.3.5.1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot 1) x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.2

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + 2 (2 x - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.3

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.4

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.5

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6

合并项。

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解题步骤 2.3.5.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x \cdot x + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.7

将 $2 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - (2 x^{2}) - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (2 (2 x) x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x \cdot x) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 (x^{1} x)) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 (x^{1} x^{1})) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x^{1 + 1}) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - (4 x^{2}) - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.14

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - (2 \cdot - 1 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.15

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} - (- 2 x)}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.16

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} - 4 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.17

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{2} + 2 x - 6 x^{2} + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.18

从 $6 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 0 + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.19

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 2 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.5.6.20

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x - 1)]}$

解题步骤 2.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 x + 1$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

解题步骤 2.3.7

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

解题步骤 2.3.8

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

解题步骤 2.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

解题步骤 2.3.10

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

解题步骤 2.3.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

解题步骤 2.3.12

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{(2 x + 1) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

解题步骤 2.3.13

将 $2$ 移到 $2 x + 1$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 \cdot (2 x + 1) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}$

解题步骤 2.3.14

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

解题步骤 2.3.15

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

解题步骤 2.3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

解题步骤 2.3.17

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])}$

解题步骤 2.3.18

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) (2 + 0)}$

解题步骤 2.3.19

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + (2 x - 1) \cdot 2}$

解题步骤 2.3.20

将 $2$ 移到 $2 x - 1$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x + 1) + 2 \cdot (2 x - 1)}$

解题步骤 2.3.21

化简。

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解题步骤 2.3.21.1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (2 x - 1)}$

解题步骤 2.3.21.2

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{2 (2 x) + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.3.21.3

合并项。

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解题步骤 2.3.21.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 \cdot 1 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.3.21.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.3.21.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 4 x + 2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.3.21.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 x + 2 + 4 x - 2}$

解题步骤 2.3.21.3.5

将 $4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x + 2 - 2}$

解题步骤 2.3.21.3.6

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x + 0}$

解题步骤 2.3.21.3.7

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{8 x}$

解题步骤 2.4

简化。

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解题步骤 2.4.1

约去 $4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x)}{8 x}$

解题步骤 2.4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.1.2.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 (x)}{4 (2 x)}$

解题步骤 2.4.1.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x}{4 (2 x)}$

解题步骤 2.4.1.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x}$

解题步骤 2.4.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x}$

解题步骤 2.4.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2}$

解题步骤 3

计算 $\frac{1}{2}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{2}$

小数形式：

$0.5$

微积分学 示例

微积分学示例