微积分学示例

$\int (\frac{x^{6} - 5 x}{x^{2}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{x^{6} - 5 x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

从 $x^{6} - 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x^{5} - 5 x}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.1.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x \cdot x^{5} + x \cdot - 5}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.1.3

从 $x \cdot x^{5} + x \cdot - 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x^{2}} d x$

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x^{2}} d x$

解题步骤 2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x} d x$

解题步骤 2.2.2

约去公因数。

$\int \frac{x (x^{5} - 5)}{x \cdot x} d x$

解题步骤 2.2.3

重写表达式。

$\int \frac{x^{5} - 5}{x} d x$

$\int \frac{x^{5} - 5}{x} d x$

$\int \frac{x^{5} - 5}{x} d x$

解题步骤 3

用 $x^{5} - 5$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 3.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

+

$0$

$x^{5}$

+

$0 x^{4}$

+

$0 x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

-

$5$

解题步骤 3.2

将被除数中的最高阶项 $x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$x$

+

$0$

$x^{5}$

+

$0 x^{4}$

+

$0 x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

-

$5$

解题步骤 3.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$x$

+

$0$

$x^{5}$

+

$0 x^{4}$

+

$0 x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

-

$5$

+

$x^{5}$

+

$0$

解题步骤 3.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{5} + 0$ 中的所有符号

$x^{4}$

$x$

+

$0$

$x^{5}$

+

$0 x^{4}$

+

$0 x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

-

$5$

-

$x^{5}$

-

$0$

解题步骤 3.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$x$

+

$0$

$x^{5}$

+

$0 x^{4}$

+

$0 x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

-

$5$

-

$x^{5}$

-

$0$

$0$

解题步骤 3.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x^{4}$

$x$

+

$0$

$x^{5}$

+

$0 x^{4}$

+

$0 x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

-

$5$

-

$x^{5}$

-

$0$

$0$

+

$0 x^{3}$

+

$0 x^{2}$

解题步骤 3.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int x^{4} - \frac{5}{x} d x$

$\int x^{4} - \frac{5}{x} d x$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{4} d x + \int - \frac{5}{x} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C + \int - \frac{5}{x} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - \int \frac{5}{x} d x$

解题步骤 7

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - (5 \int \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 8

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 5 \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 9

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{5} x^{5} + C - 5 (\ln (| x |) + C)$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{5} x^{5} - 5 \ln (| x |) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$