微积分学示例

$y = t \ln^{2} (4 t)$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$y = t \ln^{2} (4 t)$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (t \ln^{2} (4 t))$

解题步骤 3

$y$ 对 $t$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = \ln^{2} (4 t)$ 。

$t \frac{d}{d t} [\ln^{2} (4 t)] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \ln (4 t)$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\ln (4 t)$ 。

$t (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$t (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.2.3

使用 $\ln (4 t)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$t (2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [\ln (4 t)]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = 4 t$ 。

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解题步骤 4.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 t$ 。

$t (2 \ln (4 t) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.3.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.3.3

使用 $4 t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$t (2 \ln (4 t) (\frac{1}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t])) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4

求微分。

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解题步骤 4.4.1

组合 $\frac{1}{4 t}$ 和 $2$ 。

$t (\frac{2}{4 t} \ln (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.2

化简项。

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解题步骤 4.4.2.1

组合 $\frac{2}{4 t}$ 和 $\ln (4 t)$ 。

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.2.2

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.1

从 $2 \ln (4 t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.2.2.2.1

从 $4 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$t (\frac{2 (\ln (4 t))}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.2.2.2.2

约去公因数。

$t (\frac{2 \ln (4 t)}{2 (2 t)} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.2.2.2.3

重写表达式。

$t (\frac{\ln (4 t)}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.2.3

组合 $\frac{\ln (4 t)}{2 t}$ 和 $t$ 。

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.2.4

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.4.1

约去公因数。

$\frac{\ln (4 t) t}{2 t} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.2.4.2

重写表达式。

$\frac{\ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [4 t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.3

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{\ln (4 t)}{2} (4 \frac{d}{d t} [t]) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.4

化简项。

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解题步骤 4.4.4.1

组合 $4$ 和 $\frac{\ln (4 t)}{2}$ 。

$\frac{4 \ln (4 t)}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.4.2

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.4.2.1

从 $4 \ln (4 t)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.4.4.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 (1)} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.4.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (2 \ln (4 t))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.4.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2 \ln (4 t)}{1} \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.4.2.2.4

用 $2 \ln (4 t)$ 除以 $1$ 。

$2 \ln (4 t) \frac{d}{d t} [t] + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \ln (4 t) \cdot 1 + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 4.4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t) \cdot 1$

解题步骤 4.4.8

化简表达式。

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解题步骤 4.4.8.1

将 $\ln^{2} (4 t)$ 乘以 $1$ 。

$2 \ln (4 t) + \ln^{2} (4 t)$

解题步骤 4.4.8.2

重新排序项。

$\ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d t}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d t} = \ln^{2} (4 t) + 2 \ln (4 t)$

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