微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} x^{3}, x \leq 2 \\ a x^{2}, x > 2 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 从右侧趋于 $2$ 时，求 $a x^{2}$ 的极限。

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解题步骤 1.1

将左右极限改为右极限。

$lim_{x \to 2^{+}} a x^{2}$

解题步骤 1.2

计算极限值。

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解题步骤 1.2.1

因为项 $a$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$a lim_{x \to 2^{+}} x^{2}$

解题步骤 1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$a {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2}$

解题步骤 1.3

将 $2$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$a \cdot 2^{2}$

解题步骤 1.4

化简答案。

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解题步骤 1.4.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$a \cdot 4$

解题步骤 1.4.2

将 $4$ 移到 $a$ 的左侧。

$4 a$

解题步骤 2

计算 $x^{3}$ 在 $2$ 处的值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

${(2)}^{3}$

解题步骤 2.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8$

解题步骤 3

由于当 $x$ 从右侧趋于 $2$ 时， $a x^{2}$ 的极限不等于 $x = 2$ 处的函数值，因此该函数在 $x = 2$ 处不连续。

不连续

解题步骤 4

微积分学 示例