微积分学示例

$\int_{0}^{\infty} x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- 2 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} x (- \frac{e^{- 2 x}}{2})]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 3.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 4

由于 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2}$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6

使 $u = - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 6.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 6.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 6.2

将下限代入替换 $u = - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

解题步骤 6.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 6.4

将上限代入替换 $u = - 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 2 t$

解题步骤 6.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

解题步骤 6.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 7.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u))$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u$

解题步骤 11

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

解题步骤 12

组合 $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{x e^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

解题步骤 13

代入并化简。

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解题步骤 13.1

计算 $- \frac{x e^{- 2 x}}{2}$ 在 $t$ 处和在 $0$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{4}$

解题步骤 13.2

计算 $e^{u}$ 在 $- 2 t$ 处和在 $0$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} (- \frac{t e^{- 2 t}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

解题步骤 13.3

化简。

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解题步骤 13.3.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

解题步骤 13.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

解题步骤 13.3.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

解题步骤 13.3.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

解题步骤 13.3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

解题步骤 13.3.4.2.2

约去公因数。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

解题步骤 13.3.4.2.3

重写表达式。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + \frac{0}{1} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

解题步骤 13.3.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} + 0 - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

解题步骤 13.3.5

将 $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{4}$

解题步骤 13.3.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{4}$

解题步骤 13.3.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

解题步骤 13.3.8

要将 $- \frac{t e^{- 2 t}}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

解题步骤 13.3.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 13.3.9.1

将 $\frac{t e^{- 2 t}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

解题步骤 13.3.9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to \infty} - \frac{t e^{- 2 t} \cdot 2}{4} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{4}$

解题步骤 13.3.10

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to \infty} \frac{- t e^{- 2 t} \cdot 2 - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

解题步骤 13.3.11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 2 t e^{- 2 t} - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

从 $- 2 t e^{- 2 t}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)}{4}$

解题步骤 14.2

从 $- (2 t e^{- 2 t}) - (e^{- 2 t} - 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

解题步骤 14.3

将 $- (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ 重写为 $- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)$ 。

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1)}{4}$

解题步骤 14.4

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} - \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

解题步骤 15

计算极限值。

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解题步骤 15.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to \infty} \frac{2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1}{4}$

解题步骤 15.2

因为项 $\frac{1}{4}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{4} lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + e^{- 2 t} - 1$

解题步骤 15.3

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- \frac{1}{4} (lim_{t \to \infty} 2 t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.4

因为项 $2$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} t e^{- 2 t} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.5

将 $t e^{- 2 t}$ 重写为 $\frac{t}{e^{2 t}}$ 。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6

运用洛必达法则。

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解题步骤 15.6.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 15.6.1.1

取分子和分母极限值。

$- \frac{1}{4} (2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.1.3

因为指数 $2 t$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $e^{2 t}$ 趋于 $\infty$ 。

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$- \frac{1}{4} (2 \frac{\infty}{\infty} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{2 t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]}$

解题步骤 15.6.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 15.6.3.1

对分子和分母进行求导。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{2 t}]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = 2 t$ 。

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解题步骤 15.6.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 t$ 。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.3.3.3

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.3.4

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \frac{d}{d t} [t]} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2 \cdot 1} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.3.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t} \cdot 2} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.6.3.7

将 $2$ 移到 $e^{2 t}$ 的左侧。

$- \frac{1}{4} (2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.7

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{2 t}} + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{e^{2 t}}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{4} (2 (\frac{1}{2}) \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.9

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.10

因为指数 $- 2 t$ 趋于 $- \infty$ ，所以数量 $e^{- 2 t}$ 趋于 $0$ 。

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - lim_{t \to \infty} 1)$

解题步骤 15.11

计算极限值。

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解题步骤 15.11.1

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- \frac{1}{4} (2 \cdot 0 + 0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.11.2

化简答案。

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解题步骤 15.11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.11.2.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1 \cdot 1)$

解题步骤 15.11.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{4} (0 + 0 - 1)$

解题步骤 15.11.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{1}{4} (0 - 1)$

解题步骤 15.11.2.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{1}{4} \cdot - 1$

解题步骤 15.11.2.4

乘以 $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 15.11.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{4})$

解题步骤 15.11.2.4.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 16

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{4}$

小数形式：

$0.25$

微积分学 示例

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