微积分学示例

$x = \frac{1}{3} \sqrt{y} (y - 3)$ , $1 \leq y \leq 9$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

解题步骤 2

去掉圆括号。

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$

解题步骤 3

化简 $\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} (y - 3))$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y + \sqrt{y} \cdot - 3)$

解题步骤 3.2

将 $- 3$ 移到 $\sqrt{y}$ 的左侧。

$x = \frac{1}{3} \cdot (\sqrt{y} y - 3 \cdot \sqrt{y})$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$x = \frac{1}{3} (\sqrt{y} y) + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

解题步骤 3.4

乘以 $\frac{1}{3} (\sqrt{y} y)$ 。

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解题步骤 3.4.1

组合 $\sqrt{y}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$x = \frac{\sqrt{y}}{3} y + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

解题步骤 3.4.2

组合 $\frac{\sqrt{y}}{3}$ 和 $y$ 。

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (- 3 \sqrt{y})$

解题步骤 3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $- 3 \sqrt{y}$ 中分解出因数 $3$ 。

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} + \frac{1}{3} (3 (- \sqrt{y}))$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$x = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$

解题步骤 4

检验 $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ 是否连续。

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解题步骤 4.1

要求函数在 $[1, 9]$ 上是否连续，请求出 $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ 的定义域。

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解题步骤 4.1.1

将 $\sqrt{y}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$y \geq 0$

解题步骤 4.1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${y | y \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${y | y \geq 0}$

解题步骤 4.2

$f (y)$ 在 $[1, 9]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

检验 $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ 是否可微。

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解题步骤 5.1

求导数。

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解题步骤 5.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1.1

根据加法法则， $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ 。

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解题步骤 5.1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.2

通过指数相加将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 5.1.1.2.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.2.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.3

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.8

化简分子。

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解题步骤 5.1.1.2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.8.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.9

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.10

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.11

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.12

从 $3 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.13

约去公因数。

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解题步骤 5.1.1.2.13.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.13.2

约去公因数。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.2.13.3

重写表达式。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 5.1.1.3

计算 $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ 。

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解题步骤 5.1.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.1.1.3.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{\frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 5.1.1.3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 5.1.1.3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 5.1.1.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 5.1.1.3.7

化简分子。

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解题步骤 5.1.1.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 5.1.1.3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 5.1.1.3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 5.1.1.3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 5.1.1.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.1.2

$f (y)$ 对 $y$ 的一阶导数是 $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2

判断导数在 $[1, 9]$ 上是否连续。

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解题步骤 5.2.1

要求函数在 $[1, 9]$ 上是否连续，请求出 $f' (y) = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ 的定义域。

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解题步骤 5.2.1.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 5.2.1.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2.1.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{\sqrt{y^{1}}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

解题步骤 5.2.1.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y^{1}}}$

解题步骤 5.2.1.1.4

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{\sqrt{y}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{y}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $\sqrt{y}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$y \geq 0$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$2 \sqrt{y} = 0$

解题步骤 5.2.1.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{y})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 5.2.1.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.4.2.2.1

化简 ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.2.2.1.1

对 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2.2.1.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.4.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 y^{1} = 0^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2.2.1.4

化简。

$4 y = 0^{2}$

解题步骤 5.2.1.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.1.4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 y = 0$

解题步骤 5.2.1.4.3

将 $4 y = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1.4.3.1

将 $4 y = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.2.1.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.4.3.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.2.1.4.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.2.1.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.1.4.3.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$y = 0$

解题步骤 5.2.1.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${y | y > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${y | y > 0}$

解题步骤 5.2.2

$f' (y)$ 在 $[1, 9]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5.3

该函数在 $[1, 9]$ 上可微，因为其导数在 $[1, 9]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

为了确保弧长成立，函数自身及其导数在闭区间 $[1, 9]$ 上都必须为连续的。

函数及其导数在闭区间 $[1, 9]$ 上连续。

解题步骤 7

求 $f (y) = \frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ 的导数。

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解题步骤 7.1

根据加法法则， $\frac{\sqrt{y} y}{3} - \sqrt{y}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2

计算 $\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt{y} y}{3}]$ 。

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解题步骤 7.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.2

通过指数相加将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2}} y^{1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + 1}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{1 + 2}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.2.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.3

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $\frac{y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.8

化简分子。

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解题步骤 7.2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.8.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.9

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.10

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.11

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.12

从 $3 y^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (y^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.13

约去公因数。

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解题步骤 7.2.13.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.13.2

约去公因数。

$\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.2.13.3

重写表达式。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$

解题步骤 7.3

计算 $\frac{d}{d y} [- \sqrt{y}]$ 。

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解题步骤 7.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y}$ 重写成 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 7.3.2

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y^{\frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 7.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 7.3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 7.3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 7.3.7

化简分子。

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解题步骤 7.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 7.3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 7.3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - (\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 7.3.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 7.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8

要求函数的弧长，请使用公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (y))}^{2}} d y$ 。

$\int_{1}^{9} \sqrt{1 + {(\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d y$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例