微积分学示例

$- \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = - 1$ 且 $g (y) = \frac{2 x + y}{x + 2 y}$ 。

$- \frac{d}{d y} [\frac{2 x + y}{x + 2 y}] + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = 2 x + y$ 且 $g (y) = x + 2 y$ 。

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [2 x + y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x + y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{(x + 2 y) (\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.2

因为 $2 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{(x + 2 y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [y]$ 相加。

$- \frac{(x + 2 y) \frac{d}{d y} [y] - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{(x + 2 y) \cdot 1 - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.5

将 $x + 2 y$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [x + 2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $x + 2 y$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ 。

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.7

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (0 + \frac{d}{d y} [2 y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.8

将 $0$ 和 $\frac{d}{d y} [2 y]$ 相加。

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) \frac{d}{d y} [2 y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.9

因为 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $y$ 的导数是 $2 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$- \frac{x + 2 y - (2 x + y) (2 \frac{d}{d y} [y])}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.10

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y) \cdot 1}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.12

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \frac{d}{d y} [- 1]$

解题步骤 3.13

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + \frac{2 x + y}{x + 2 y} \cdot 0$

解题步骤 3.14

化简表达式。

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解题步骤 3.14.1

将 $\frac{2 x + y}{x + 2 y}$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}} + 0$

解题步骤 3.14.2

将 $- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x + y)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$- \frac{x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y}{{(x + 2 y)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

合并 $x + 2 y - 2 (2 x) - 2 y$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $2 y$ 中减去 $2 y$ 。

$- \frac{x - 2 (2 x) + 0}{{(x + 2 y)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $x - 2 (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{x - 2 (2 x)}{{(x + 2 y)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{x - 4 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

解题步骤 4.2.3

从 $x$ 中减去 $4 x$ 。

$- \frac{- 3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 \frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

解题步骤 4.3.3

将 $\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x}{{(x + 2 y)}^{2}}$

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