微积分学示例

$y = {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 1

设 $y = f (x)$ ，对 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

$\ln (y) = \ln ({\cos (6 x)}^{x})$

解题步骤 2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({\cos (6 x)}^{x})$ 。

$\ln (y) = x \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

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解题步骤 3.1

用链式法则对 $\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = x \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2

对右边求导。

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解题步骤 3.2.1

对 $x \ln (\cos (6 x))$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (\cos (6 x))]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (\cos (6 x))$ 。

$\frac{y'}{y} = x \frac{d}{d x} [\ln (\cos (6 x))] + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \cos (6 x)$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\cos (6 x)$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.3.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.3.3

使用 $\cos (6 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\frac{1}{\cos (6 x)} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{1}{\cos (6 x)}$ 转换成 $\sec (6 x)$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 6 x$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $6 x$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.5.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.5.3

使用 $6 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.6

求微分。

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解题步骤 3.2.6.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.6.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x])) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x) \cdot 1)) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.6.4

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x)) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.2.6.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x)) \cdot 1$

解题步骤 3.2.6.6

将 $\ln (\cos (6 x))$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = x (\sec (6 x) (- 6 \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7

化简。

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解题步骤 3.2.7.1

重新排序项。

$\frac{y'}{y} = - 6 x \sec (6 x) \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.7.2.1

将 $\sec (6 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{y'}{y} = - 6 x \frac{1}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7.2.2

乘以 $- 6 x \frac{1}{\cos (6 x)}$ 。

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解题步骤 3.2.7.2.2.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{\cos (6 x)}$ 。

$\frac{y'}{y} = x \frac{- 6}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7.2.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{- 6}{\cos (6 x)}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x \cdot - 6}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7.2.3

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{y'}{y} = \frac{- 6 \cdot x}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7.2.4

将负号移到分数的前面。

$\frac{y'}{y} = - \frac{6 \cdot x}{\cos (6 x)} \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7.2.5

组合 $\sin (6 x)$ 和 $\frac{6 x}{\cos (6 x)}$ 。

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (6 x) (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7.2.6

将 $6$ 移到 $\sin (6 x)$ 的左侧。

$\frac{y'}{y} = - \frac{6 \sin (6 x) x}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7.3

化简每一项。

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解题步骤 3.2.7.3.1

分离分数。

$\frac{y'}{y} = - (\frac{6 x}{1} \cdot \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}) + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7.3.2

将 $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ 转换成 $\tan (6 x)$ 。

$\frac{y'}{y} = - (\frac{6 x}{1} \tan (6 x)) + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7.3.3

用 $6 x$ 除以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = - (6 x \tan (6 x)) + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 3.2.7.3.4

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y'}{y} = - 6 x \tan (6 x) + \ln (\cos (6 x))$

解题步骤 4

分离出 $y'$ ，将原函数代入右边的 $y$ 。

$y' = (- 6 x \tan (6 x) + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

将 $\tan (6 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = (- 6 x \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.1.2

乘以 $- 6 x \frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

组合 $- 6$ 和 $\frac{\sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ 。

$y' = (x \frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.1.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{- 6 \sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ 。

$y' = (\frac{x (- 6 \sin (6 x))}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.1.3

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$y' = (\frac{- 6 \cdot x \sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = (- \frac{6 x \sin (6 x)}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x))) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$y' = - \frac{6 x \sin (6 x)}{\cos (6 x)} {\cos (6 x)}^{x} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.3

组合 ${\cos (6 x)}^{x}$ 和 $\frac{6 x \sin (6 x)}{\cos (6 x)}$ 。

$y' = - \frac{{\cos (6 x)}^{x} (6 x \sin (6 x))}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.4

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1

约去 ${\cos (6 x)}^{x}$ 和 $\cos (6 x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1

从 ${\cos (6 x)}^{x} (6 x \sin (6 x))$ 中分解出因数 $\cos (6 x)$ 。

$y' = - \frac{\cos (6 x) ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x)))}{\cos (6 x)} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.1.2.1

乘以 $1$ 。

$y' = - \frac{\cos (6 x) ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x)))}{\cos (6 x) \cdot 1} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.4.1.2.2

约去公因数。

$y' = - \frac{\cos (6 x) ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x)))}{\cos (6 x) \cdot 1} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.4.1.2.3

重写表达式。

$y' = - \frac{{\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x))}{1} + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.4.1.2.4

用 ${\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x))$ 除以 $1$ 。

$y' = - ({\cos (6 x)}^{x - 1} (6 x \sin (6 x))) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$y' = - (6 {\cos (6 x)}^{x - 1} x \sin (6 x)) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.4.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = - 6 {\cos (6 x)}^{x - 1} x \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$

解题步骤 5.5

将 $- 6 {\cos (6 x)}^{x - 1} x \sin (6 x) + \ln (\cos (6 x)) {\cos (6 x)}^{x}$ 中的因式重新排序。

$y' = - 6 x {\cos (6 x)}^{x - 1} \sin (6 x) + {\cos (6 x)}^{x} \ln (\cos (6 x))$

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