微积分学示例

$lim_{x \to 0} \arctan (\frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}})$

解题步骤 1

化简答案。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{3 + 0}}$

解题步骤 1.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 1.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 1.4.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2

由于 $lim_{x \to 0} \frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，因此将 $\frac{1 - x}{\sqrt{3 + x}}$ 代入 $t$ ，并使 $t$ 趋于 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$lim_{t \to \frac{\sqrt{3}}{3}} \arctan (t)$

解题步骤 3

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

化简答案。

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解题步骤 3.1.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3 + 0}})$

解题步骤 3.1.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}})$

解题步骤 3.1.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\arctan (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 3.1.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

解题步骤 3.1.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})$

解题步骤 3.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})$

解题步骤 3.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

解题步骤 3.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

解题步骤 3.1.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.1.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 3.1.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 3.1.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 3.1.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.6.4.1

约去公因数。

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 3.1.4.6.4.2

重写表达式。

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3^{1}})$

解题步骤 3.1.4.6.5

计算指数。

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

解题步骤 3.2

$\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$\frac{π}{6}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π}{6}$

小数形式：

$0.52359877 \dots$

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