微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{\sin (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.5

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.5.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.5.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.2.5.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.13.1

将 $- \sin^{2} (x)$ 和 $\cos^{2} (x)$ 重新排序。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = \sin (x)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.3

使用 FOIL 方法展开 $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.13.3.1

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.3.2

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.3.3

运用分配律。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.4

合并 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.13.4.1

按照 $\cos (x) (- \sin (x))$ 和 $\sin (x) \cos (x)$ 重新排列因数。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.4.2

将 $- \cos (x) \sin (x)$ 和 $\cos (x) \sin (x)$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.4.3

将 $\cos (x) \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.5

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.13.5.1

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.13.5.1.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.5.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.5.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.5.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.5.3

乘以 $- \sin (x) \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.13.5.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.5.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.13.6

使用余弦倍角公式。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x)}{1}$

解题步骤 1.4

用 $\cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \cos (2 x)$

解题步骤 2

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x)$

解题步骤 2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\cos (2 lim_{x \to 0} x)$

解题步骤 3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\cos (2 \cdot 0)$

解题步骤 4

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\cos (0)$

解题步骤 4.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

微积分学 示例

微积分学示例