微积分学示例

$(5 x^{2} + 3) (2 x - 1)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 5 x^{2} + 3$ 且 $g (x) = 2 x - 1$ 。

$(5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(5 x^{2} + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(5 x^{2} + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$(5 x^{2} + 3) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(5 x^{2} + 3) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$(5 x^{2} + 3) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 移到 $5 x^{2} + 3$ 的左侧。

$2 \cdot (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3]$

解题步骤 1.2.7

根据加法法则， $5 x^{2} + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.8

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.10

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + \frac{d}{d x} [3])$

解题步骤 1.2.11

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x + 0)$

解题步骤 1.2.12

化简表达式。

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解题步骤 1.2.12.1

将 $10 x$ 和 $0$ 相加。

$2 (5 x^{2} + 3) + (2 x - 1) (10 x)$

解题步骤 1.2.12.2

将 $10$ 移到 $2 x - 1$ 的左侧。

$2 (5 x^{2} + 3) + 10 \cdot (2 x - 1) x$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x - 1) x$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + (10 (2 x) + 10 \cdot - 1) x$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$2 (5 x^{2}) + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.3.4

合并项。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$10 x^{2} + 2 \cdot 3 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.3.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$10 x^{2} + 6 + 10 (2 x) x + 10 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.3.4.3

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$10 x^{2} + 6 + 20 x \cdot x + 10 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.3.4.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x) + 10 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.3.4.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$10 x^{2} + 6 + 20 (x^{1} x^{1}) + 10 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.3.4.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{1 + 1} + 10 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.3.4.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} + 10 \cdot - 1 x$

解题步骤 1.3.4.8

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$10 x^{2} + 6 + 20 x^{2} - 10 x$

解题步骤 1.3.4.9

将 $10 x^{2}$ 和 $20 x^{2}$ 相加。

$30 x^{2} + 6 - 10 x$

解题步骤 1.3.5

重新排序项。

$f' (x) = 30 x^{2} - 10 x + 6$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $30 x^{2} - 10 x + 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$ 。

$\frac{d}{d x} [30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $30 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$30 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$30 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $30$ 。

$60 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$60 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$60 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.3.3

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$60 x - 10 + \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$60 x - 10 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $60 x - 10$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 60 x - 10$

微积分学 示例

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