微积分学示例

$y'''' = \frac{3 y}{x}$ , $y = x^{3}$

解题步骤 1

求 $y'$ 。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3})$

解题步骤 1.2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 3 x^{2}$

解题步骤 2

求 $y''$ 。

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解题步骤 2.1

建立导数。

$y'' = \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

解题步骤 2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$y'' = 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$y'' = 3 (2 x)$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y'' = 6 x$

解题步骤 3

求 $y'''$ 。

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解题步骤 3.1

建立导数。

$y''' = \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 3.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y''' = 6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y''' = 6 \cdot 1$

解题步骤 3.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$y''' = 6$

解题步骤 4

求 $y''''$ 。

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解题步骤 4.1

建立导数。

$y'''' = \frac{d}{d x} [6]$

解题步骤 4.2

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$y'''' = 0$

解题步骤 5

代入给定的微分方程。

$0 = \frac{3 x^{3}}{x}$

解题步骤 6

约去 $x^{3}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x}$

解题步骤 6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x^{1}}$

解题步骤 6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

解题步骤 6.2.3

约去公因数。

$0 = \frac{x (3 x^{2})}{x \cdot 1}$

解题步骤 6.2.4

重写表达式。

$0 = \frac{3 x^{2}}{1}$

解题步骤 6.2.5

用 $3 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$0 = 3 x^{2}$

解题步骤 7

给定的解不满足给定微分方程。

$y = x^{3}$ 不是 $y'''' = \frac{3 y}{x}$ 的解

微积分学 示例

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