微积分学示例

$\int \frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = \tan (x)$ 。然后使 $d u = \sec^{2} (x) d x$ ，以便 $- d u = - \sec^{2} (x) d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \tan (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\tan (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\tan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec^{2} (x)$ 。

$\sec^{2} (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

约去公因数。

$\int \frac{1}{1} (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 2.1.2

重写表达式。

$\int 1 (1 - u^{2}) d u$

解题步骤 2.2

将 $1 - u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 - u^{2} d u$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d u + \int - u^{2} d u$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$u + C + \int - u^{2} d u$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$u + C - \int u^{2} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 7

化简。

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 8

使用 $\tan (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\tan (x) - \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

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