微积分学示例

$lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{- 4 \sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

解题步骤 1

因为项 $- 4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 4 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \frac{\sin (x)}{- 8 + 5 \cos (x)}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- \frac{π}{3}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 4 \frac{lim_{x \to - \frac{π}{3}} \sin (x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{3}} - 8 + 5 \cos (x)}$

解题步骤 4

当 $x$ 趋于 $- \frac{π}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- lim_{x \to - \frac{π}{3}} 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

解题步骤 5

计算 $8$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \frac{π}{3}$ 时此极限值为常数。

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 1 \cdot 8 + lim_{x \to - \frac{π}{3}} 5 \cos (x)}$

解题步骤 6

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 lim_{x \to - \frac{π}{3}} \cos (x)}$

解题步骤 7

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$- 4 \frac{\sin (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

解题步骤 8

将 $- \frac{π}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $- \frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (lim_{x \to - \frac{π}{3}} x)}$

解题步骤 8.2

将 $- \frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 4 \frac{\sin (- \frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 4 \frac{\sin (\frac{5 π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

解题步骤 9.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 4 \frac{- \sin (\frac{π}{3})}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

解题步骤 9.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (- \frac{π}{3})}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{5 π}{3})}$

解题步骤 9.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 \cos (\frac{π}{3})}$

解题步骤 9.2.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + 5 (\frac{1}{2})}$

解题步骤 9.2.4

组合 $5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 + \frac{5}{2}}$

解题步骤 9.2.5

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- 8 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}$

解题步骤 9.2.6

组合 $- 8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}$

解题步骤 9.2.7

在公分母上合并分子。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 8 \cdot 2 + 5}{2}}$

解题步骤 9.2.8

化简分子。

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解题步骤 9.2.8.1

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 16 + 5}{2}}$

解题步骤 9.2.8.2

将 $- 16$ 和 $5$ 相加。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{- 11}{2}}$

解题步骤 9.2.9

将负号移到分数的前面。

$- 4 \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2}}{- \frac{11}{2}}$

解题步骤 9.3

将两个负数相除得到一个正数。

$- 4 \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{11}{2}}$

解题步骤 9.4

将分子乘以分母的倒数。

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

解题步骤 9.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

约去公因数。

$- 4 (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{11})$

解题步骤 9.5.2

重写表达式。

$- 4 (\sqrt{3} \frac{1}{11})$

解题步骤 9.6

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{1}{11}$ 。

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{11}$

解题步骤 9.7

组合 $- 4$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{11}$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{11}$

解题步骤 9.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{4 \sqrt{3}}{11}$

小数形式：

$- 0.62983665 \dots$

微积分学 示例

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